График функции y = x^2*sin(x)+x^1*cos(x)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        2           1       
f(x) = x *sin(x) + x *cos(x)
$$f{\left (x \right )} = x^{2} \sin{\left (x \right )} + x^{1} \cos{\left (x \right )}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} \sin{\left (x \right )} + x^{1} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -62.815934889$$
$$x_{2} = 62.815934889$$
$$x_{3} = -12.4864543952$$
$$x_{4} = -78.5270825679$$
$$x_{5} = -65.9582857894$$
$$x_{6} = 65.9582857894$$
$$x_{7} = -100.521017075$$
$$x_{8} = 97.3791034786$$
$$x_{9} = -47.1026627704$$
$$x_{10} = -6.1212504669$$
$$x_{11} = -75.3849592185$$
$$x_{12} = -81.6691650818$$
$$x_{13} = -50.2455828376$$
$$x_{14} = 34.5285657555$$
$$x_{15} = -34.5285657555$$
$$x_{16} = 47.1026627704$$
$$x_{17} = -43.9595528889$$
$$x_{18} = 25.0929104121$$
$$x_{19} = -15.6441283703$$
$$x_{20} = 84.8112112993$$
$$x_{21} = 40.8162093266$$
$$x_{22} = -31.3840740179$$
$$x_{23} = -21.94561288$$
$$x_{24} = -97.3791034786$$
$$x_{25} = -87.9532251107$$
$$x_{26} = -28.2389365753$$
$$x_{27} = -56.5309801938$$
$$x_{28} = -84.8112112993$$
$$x_{29} = 59.6735041304$$
$$x_{30} = -69.100567728$$
$$x_{31} = 12.4864543952$$
$$x_{32} = 43.9595528889$$
$$x_{33} = -94.2371684817$$
$$x_{34} = -25.0929104121$$
$$x_{35} = 53.3883466217$$
$$x_{36} = -59.6735041304$$
$$x_{37} = 72.2427897047$$
$$x_{38} = 75.3849592185$$
$$x_{39} = 21.94561288$$
$$x_{40} = 91.0952098694$$
$$x_{41} = 100.521017075$$
$$x_{42} = -91.0952098694$$
$$x_{43} = 81.6691650818$$
$$x_{44} = -53.3883466217$$
$$x_{45} = 18.7964043662$$
$$x_{46} = 56.5309801938$$
$$x_{47} = 28.2389365753$$
$$x_{48} = -2.79838604578$$
$$x_{49} = -18.7964043662$$
$$x_{50} = 50.2455828376$$
$$x_{51} = 31.3840740179$$
$$x_{52} = 6.1212504669$$
$$x_{53} = -40.8162093266$$
$$x_{54} = 15.6441283703$$
$$x_{55} = 78.5270825679$$
$$x_{56} = 87.9532251107$$
$$x_{57} = 94.2371684817$$
$$x_{58} = -72.2427897047$$
$$x_{59} = 9.31786646179$$
$$x_{60} = 2.79838604578$$
$$x_{61} = 0$$
$$x_{62} = -37.6725735651$$
$$x_{63} = 69.100567728$$
$$x_{64} = 37.6725735651$$
$$x_{65} = -9.31786646179$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2*sin(x) + x^1*cos(x).
$$0^{2} \sin{\left (0 \right )} + 0^{1} \cos{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{2} \cos{\left (x \right )} + x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 48.7152020787$$
$$x_{2} = -86.4053692621$$
$$x_{3} = 20.4690516301$$
$$x_{4} = 64.4181679837$$
$$x_{5} = -26.7408639367$$
$$x_{6} = -61.2773701909$$
$$x_{7} = -83.2642129725$$
$$x_{8} = -76.9820071396$$
$$x_{9} = -23.6042091423$$
$$x_{10} = 7.97678462751$$
$$x_{11} = -92.6877705166$$
$$x_{12} = -89.5465561461$$
$$x_{13} = 45.575021247$$
$$x_{14} = -98.9702712572$$
$$x_{15} = -7.97678462751$$
$$x_{16} = 51.8555535656$$
$$x_{17} = 36.1559453107$$
$$x_{18} = 73.8409666666$$
$$x_{19} = -29.8785491412$$
$$x_{20} = 23.6042091423$$
$$x_{21} = -36.1559453107$$
$$x_{22} = 42.4350488166$$
$$x_{23} = -42.4350488166$$
$$x_{24} = -11.0848217516$$
$$x_{25} = 33.016973326$$
$$x_{26} = -67.5590395979$$
$$x_{27} = 29.8785491412$$
$$x_{28} = -58.1366581602$$
$$x_{29} = 83.2642129725$$
$$x_{30} = 61.2773701909$$
$$x_{31} = 95.829009673$$
$$x_{32} = 26.7408639367$$
$$x_{33} = 70.6999752106$$
$$x_{34} = 11.0848217516$$
$$x_{35} = -14.2070931147$$
$$x_{36} = 89.5465561461$$
$$x_{37} = -70.6999752106$$
$$x_{38} = -95.829009673$$
$$x_{39} = -64.4181679837$$
$$x_{40} = -80.1230908716$$
$$x_{41} = -45.575021247$$
$$x_{42} = 98.9702712572$$
$$x_{43} = -39.2953345327$$
$$x_{44} = -4.90565966567$$
$$x_{45} = 4.90565966567$$
$$x_{46} = -48.7152020787$$
$$x_{47} = 1.95588396372$$
$$x_{48} = 58.1366581602$$
$$x_{49} = 67.5590395979$$
$$x_{50} = 76.9820071396$$
$$x_{51} = -33.016973326$$
$$x_{52} = -73.8409666666$$
$$x_{53} = 86.4053692621$$
$$x_{54} = 39.2953345327$$
$$x_{55} = 54.9960465516$$
$$x_{56} = 14.2070931147$$
$$x_{57} = -1.95588396372$$
$$x_{58} = -20.4690516301$$
$$x_{59} = 80.1230908716$$
$$x_{60} = -51.8555535656$$
$$x_{61} = 17.3361878946$$
$$x_{62} = -54.9960465516$$
$$x_{63} = 92.6877705166$$
$$x_{64} = -17.3361878946$$
Зн. экстремумы в точках:
(48.7152020787, -2371.67212392755)

(-86.4053692621, 7464.38822230175)

(20.4690516301, 417.488901448924)

(64.4181679837, 4148.20105883203)

(-26.7408639367, -713.577812585208)

(-61.2773701909, 3753.41686274186)

(-83.2642129725, -6931.42957649394)

(-76.9820071396, -5924.72990819201)

(-23.6042091423, 555.66382949141)

(7.97678462751, 62.1728011783095)

(-92.6877705166, 8589.52313790947)

(-89.5465561461, -8017.08607606954)

(45.575021247, 2075.5839443892)

(-98.9702712572, 9793.61488616748)

(-7.97678462751, -62.1728011783095)

(51.8555535656, 2687.49950390865)

(36.1559453107, -1305.75457696247)

(73.8409666666, -5450.98888533752)

(-29.8785491412, 891.230911505695)

(23.6042091423, -555.66382949141)

(-36.1559453107, 1305.75457696247)

(42.4350488166, -1799.2349627339)

(-42.4350488166, 1799.2349627339)

(-11.0848217516, 121.396268979983)

(33.016973326, 1088.62315974023)

(-67.5590395979, 4562.72446099531)

(29.8785491412, -891.230911505695)

(-58.1366581602, -3378.37187211994)

(83.2642129725, 6931.42957649394)

(61.2773701909, -3753.41686274186)

(95.829009673, 9181.69940791564)

(26.7408639367, 713.577812585208)

(70.6999752106, 4996.9870697054)

(11.0848217516, -121.396268979983)

(-14.2070931147, -200.35558843529)

(89.5465561461, 8017.08607606954)

(-70.6999752106, -4996.9870697054)

(-95.829009673, -9181.69940791564)

(-64.4181679837, -4148.20105883203)

(-80.1230908716, 6418.21013851154)

(-45.575021247, -2075.5839443892)

(98.9702712572, -9793.61488616748)

(-39.2953345327, -1542.62517534231)

(-4.90565966567, 22.6751995394057)

(4.90565966567, -22.6751995394057)

(-48.7152020787, 2371.67212392755)

(1.95588396372, 2.8106159238902)

(58.1366581602, 3378.37187211994)

(67.5590395979, -4562.72446099531)

(76.9820071396, 5924.72990819201)

(-33.016973326, -1088.62315974023)

(-73.8409666666, 5450.98888533752)

(86.4053692621, -7464.38822230175)

(39.2953345327, 1542.62517534231)

(54.9960465516, -3023.06608618409)

(14.2070931147, 200.35558843529)

(-1.95588396372, -2.8106159238902)

(-20.4690516301, -417.488901448924)

(80.1230908716, -6418.21013851154)

(-51.8555535656, -2687.49950390865)

(17.3361878946, -299.052908734495)

(-54.9960465516, 3023.06608618409)

(92.6877705166, -8589.52313790947)

(-17.3361878946, 299.052908734495)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{64} = 48.7152020787$$
$$x_{64} = -26.7408639367$$
$$x_{64} = -83.2642129725$$
$$x_{64} = -76.9820071396$$
$$x_{64} = -89.5465561461$$
$$x_{64} = -7.97678462751$$
$$x_{64} = 36.1559453107$$
$$x_{64} = 73.8409666666$$
$$x_{64} = 23.6042091423$$
$$x_{64} = 42.4350488166$$
$$x_{64} = 29.8785491412$$
$$x_{64} = -58.1366581602$$
$$x_{64} = 61.2773701909$$
$$x_{64} = 11.0848217516$$
$$x_{64} = -14.2070931147$$
$$x_{64} = -70.6999752106$$
$$x_{64} = -95.829009673$$
$$x_{64} = -64.4181679837$$
$$x_{64} = -45.575021247$$
$$x_{64} = 98.9702712572$$
$$x_{64} = -39.2953345327$$
$$x_{64} = 4.90565966567$$
$$x_{64} = 67.5590395979$$
$$x_{64} = -33.016973326$$
$$x_{64} = 86.4053692621$$
$$x_{64} = 54.9960465516$$
$$x_{64} = -1.95588396372$$
$$x_{64} = -20.4690516301$$
$$x_{64} = 80.1230908716$$
$$x_{64} = -51.8555535656$$
$$x_{64} = 17.3361878946$$
$$x_{64} = 92.6877705166$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{64} = -86.4053692621$$
$$x_{64} = 20.4690516301$$
$$x_{64} = 64.4181679837$$
$$x_{64} = -61.2773701909$$
$$x_{64} = -23.6042091423$$
$$x_{64} = 7.97678462751$$
$$x_{64} = -92.6877705166$$
$$x_{64} = 45.575021247$$
$$x_{64} = -98.9702712572$$
$$x_{64} = 51.8555535656$$
$$x_{64} = -29.8785491412$$
$$x_{64} = -36.1559453107$$
$$x_{64} = -42.4350488166$$
$$x_{64} = -11.0848217516$$
$$x_{64} = 33.016973326$$
$$x_{64} = -67.5590395979$$
$$x_{64} = 83.2642129725$$
$$x_{64} = 95.829009673$$
$$x_{64} = 26.7408639367$$
$$x_{64} = 70.6999752106$$
$$x_{64} = 89.5465561461$$
$$x_{64} = -80.1230908716$$
$$x_{64} = -4.90565966567$$
$$x_{64} = -48.7152020787$$
$$x_{64} = 1.95588396372$$
$$x_{64} = 58.1366581602$$
$$x_{64} = 76.9820071396$$
$$x_{64} = -73.8409666666$$
$$x_{64} = 39.2953345327$$
$$x_{64} = 14.2070931147$$
$$x_{64} = -54.9960465516$$
$$x_{64} = -17.3361878946$$
Убывает на промежутках
[98.9702712572, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -95.829009673]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$x \left(- x \sin{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 84.8583399661$$
$$x_{2} = 91.1390917937$$
$$x_{3} = 22.1259143573$$
$$x_{4} = -28.3796522911$$
$$x_{5} = -19.0061082874$$
$$x_{6} = -47.1873806733$$
$$x_{7} = -40.9138982253$$
$$x_{8} = -81.7181040854$$
$$x_{9} = 94.2795891236$$
$$x_{10} = -75.437970514$$
$$x_{11} = 50.3250244833$$
$$x_{12} = 87.9986725258$$
$$x_{13} = 69.1583898858$$
$$x_{14} = 19.0061082874$$
$$x_{15} = -22.1259143573$$
$$x_{16} = -56.6016202331$$
$$x_{17} = -25.2509941254$$
$$x_{18} = -44.0502961191$$
$$x_{19} = -12.7966483903$$
$$x_{20} = 47.1873806733$$
$$x_{21} = 15.8945130637$$
$$x_{22} = 75.437970514$$
$$x_{23} = 12.7966483903$$
$$x_{24} = -78.5779764426$$
$$x_{25} = 37.778356099$$
$$x_{26} = -9.72402747618$$
$$x_{27} = -50.3250244833$$
$$x_{28} = -37.778356099$$
$$x_{29} = 59.7404355134$$
$$x_{30} = 81.7181040854$$
$$x_{31} = -59.7404355134$$
$$x_{32} = -94.2795891236$$
$$x_{33} = 3.8087622192$$
$$x_{34} = -84.8583399661$$
$$x_{35} = 9.72402747618$$
$$x_{36} = 40.9138982253$$
$$x_{37} = -62.879527203$$
$$x_{38} = -87.9986725258$$
$$x_{39} = -69.1583898858$$
$$x_{40} = -72.2981021067$$
$$x_{41} = 53.4631297646$$
$$x_{42} = -53.4631297646$$
$$x_{43} = 1.19245882934$$
$$x_{44} = 56.6016202331$$
$$x_{45} = -15.8945130637$$
$$x_{46} = 78.5779764426$$
$$x_{47} = -100.560788771$$
$$x_{48} = 31.5108457567$$
$$x_{49} = -1.19245882934$$
$$x_{50} = 100.560788771$$
$$x_{51} = 6.70395577578$$
$$x_{52} = 97.4201569811$$
$$x_{53} = -31.5108457567$$
$$x_{54} = 44.0502961191$$
$$x_{55} = -91.1390917937$$
$$x_{56} = 66.018856049$$
$$x_{57} = -97.4201569811$$
$$x_{58} = 106.842221633$$
$$x_{59} = -34.6438990396$$
$$x_{60} = -66.018856049$$
$$x_{61} = -6.70395577578$$
$$x_{62} = 62.879527203$$
$$x_{63} = 72.2981021067$$
$$x_{64} = 28.3796522911$$
$$x_{65} = 0$$
$$x_{66} = 34.6438990396$$
$$x_{67} = 25.2509941254$$
$$x_{68} = -3.8087622192$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[97.4201569811, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -97.4201569811]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \sin{\left (x \right )} + x^{1} \cos{\left (x \right )}\right)$$
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \sin{\left (x \right )} + x^{1} \cos{\left (x \right )}\right)$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2*sin(x) + x^1*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} \sin{\left (x \right )} + x^{1} \cos{\left (x \right )}\right)\right)$$
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} \sin{\left (x \right )} + x^{1} \cos{\left (x \right )}\right)\right)$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} \sin{\left (x \right )} + x^{1} \cos{\left (x \right )} = - x^{2} \sin{\left (x \right )} - x \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
$$x^{2} \sin{\left (x \right )} + x^{1} \cos{\left (x \right )} = - -1 x^{2} \sin{\left (x \right )} - - x \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной