График функции y = 2*cos(3*x-1)

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
f(x) = 2*cos(3*x - 1)
$$f{\left (x \right )} = 2 \cos{\left (3 x - 1 \right )}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \cos{\left (3 x - 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 82.5383411023$$
$$x_{2} = -46.2669576949$$
$$x_{3} = 38.556043952$$
$$x_{4} = -68.25810627$$
$$x_{5} = 87.7743288582$$
$$x_{6} = -140.514737303$$
$$x_{7} = 14.4705002745$$
$$x_{8} = -34.7477846318$$
$$x_{9} = 83.5855386535$$
$$x_{10} = -49.4085503485$$
$$x_{11} = -51.5029454509$$
$$x_{12} = 34.3672537472$$
$$x_{13} = 19.7064880305$$
$$x_{14} = 6.09291986491$$
$$x_{15} = -42.0781674901$$
$$x_{16} = 56.3584023224$$
$$x_{17} = -73.494094026$$
$$x_{18} = 50.0752170152$$
$$x_{19} = -44.1725625925$$
$$x_{20} = 65.7831802831$$
$$x_{21} = -88.1548597428$$
$$x_{22} = 76.2551557951$$
$$x_{23} = 72.0663655903$$
$$x_{24} = -77.6828842308$$
$$x_{25} = -26.3702042222$$
$$x_{26} = -31.6061919782$$
$$x_{27} = 10.2817100697$$
$$x_{28} = -95.4852426012$$
$$x_{29} = -90.2492548452$$
$$x_{30} = -39.9837723877$$
$$x_{31} = 45.8864268104$$
$$x_{32} = -4.37905564705$$
$$x_{33} = 9.2345125185$$
$$x_{34} = 80.4439459999$$
$$x_{35} = 94.0575141654$$
$$x_{36} = 100.340699473$$
$$x_{37} = -22.1814140174$$
$$x_{38} = 8.18731496731$$
$$x_{39} = -7.52064830064$$
$$x_{40} = -63.0221185141$$
$$x_{41} = -64.0693160653$$
$$x_{42} = -37.8893772853$$
$$x_{43} = 58.4527974247$$
$$x_{44} = 67.8775753855$$
$$x_{45} = 98.2463043702$$
$$x_{46} = 1.90412966013$$
$$x_{47} = -2.28466054466$$
$$x_{48} = -17.9926238126$$
$$x_{49} = 23.8952782353$$
$$x_{50} = -86.0604646404$$
$$x_{51} = -99.6740328059$$
$$x_{52} = -13.8038336078$$
$$x_{53} = -20.087018915$$
$$x_{54} = 96.1519092678$$
$$x_{55} = 89.8687239606$$
$$x_{56} = 32.2728586448$$
$$x_{57} = -15.8982287102$$
$$x_{58} = -57.7861307581$$
$$x_{59} = -91.2964523964$$
$$x_{60} = 84.6327362047$$
$$x_{61} = -0.190265442265$$
$$x_{62} = -53.5973405533$$
$$x_{63} = -30.558994427$$
$$x_{64} = -79.7772793332$$
$$x_{65} = -9.61504340303$$
$$x_{66} = 12.3761051721$$
$$x_{67} = -97.5796377035$$
$$x_{68} = 60.5471925271$$
$$x_{69} = 41.6976366056$$
$$x_{70} = 47.9808219128$$
$$x_{71} = 91.963119063$$
$$x_{72} = 78.3495508975$$
$$x_{73} = -66.1637111677$$
$$x_{74} = 43.792031708$$
$$x_{75} = 21.8008831329$$
$$x_{76} = -33.7005870806$$
$$x_{77} = 54.26400722$$
$$x_{78} = 28.08406844$$
$$x_{79} = 30.1784635424$$
$$x_{80} = -29.5117968758$$
$$x_{81} = -83.966069538$$
$$x_{82} = -59.8805258605$$
$$x_{83} = -61.9749209629$$
$$x_{84} = 69.9719704879$$
$$x_{85} = -11.7094385054$$
$$x_{86} = 3.99852476252$$
$$x_{87} = -35.7949821829$$
$$x_{88} = 74.1607606927$$
$$x_{89} = 25.9896733376$$
$$x_{90} = -81.8716744356$$
$$x_{91} = -24.2758091198$$
$$x_{92} = 52.1696121176$$
$$x_{93} = -55.6917356557$$
$$x_{94} = 36.4616488496$$
$$x_{95} = -75.5884891284$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*cos(3*x - 1).
$$2 \cos{\left (-1 + 0 \cdot 3 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2 \cos{\left (1 \right )}$$
Точка:
(0, 2*cos(1))
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 6 \sin{\left (3 x - 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(1/3, 2)

 1   pi     
(- + --, -2)
 3   3      


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
Убывает на промежутках
(-oo, 1/3] U [1/3 + pi/3, oo)

Возрастает на промежутках
[1/3, 1/3 + pi/3]
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 18 \cos{\left (3 x - 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1/3 + pi/6, 1/3 + pi/2]

Выпуклая на промежутках
(-oo, 1/3 + pi/6] U [1/3 + pi/2, oo)
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left (3 x - 1 \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -2, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left (3 x - 1 \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -2, 2\rangle$$
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*cos(3*x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{x} \cos{\left (3 x - 1 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{x} \cos{\left (3 x - 1 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \cos{\left (3 x - 1 \right )} = 2 \cos{\left (3 x + 1 \right )}$$
- Нет
$$2 \cos{\left (3 x - 1 \right )} = - 2 \cos{\left (3 x + 1 \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной