График функции y = cos(2*x+45)

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
f(x) = cos(2*x + 45)
$$f{\left (x \right )} = \cos{\left (2 x + 45 \right )}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (2 x + 45 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{45}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{45}{2} + \frac{3 \pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 23.8384916404$$
$$x_{2} = -13.8606202026$$
$$x_{3} = 81.9579557319$$
$$x_{4} = 1.84734306532$$
$$x_{5} = -93.9712328692$$
$$x_{6} = 39.5464549084$$
$$x_{7} = -20.1438055098$$
$$x_{8} = 58.3960108299$$
$$x_{9} = -100.254418176$$
$$x_{10} = -81.4048622548$$
$$x_{11} = 9.7013246993$$
$$x_{12} = 88.241141039$$
$$x_{13} = -12.2898238758$$
$$x_{14} = -73.5508806208$$
$$x_{15} = -35.8517687778$$
$$x_{16} = -31.1393797974$$
$$x_{17} = 94.5243263462$$
$$x_{18} = 97.6659189998$$
$$x_{19} = 45.8296402156$$
$$x_{20} = -43.7057504117$$
$$x_{21} = -59.4137136797$$
$$x_{22} = 0.276546738526$$
$$x_{23} = 66.2499924639$$
$$x_{24} = -56.2721210261$$
$$x_{25} = -21.7146018366$$
$$x_{26} = -42.1349540849$$
$$x_{27} = 102.37830798$$
$$x_{28} = 28.5508806208$$
$$x_{29} = 59.9668071567$$
$$x_{30} = 96.095122673$$
$$x_{31} = 74.1039740979$$
$$x_{32} = 42.688047562$$
$$x_{33} = -78.2632696012$$
$$x_{34} = -26.426990817$$
$$x_{35} = -29.5685834706$$
$$x_{36} = -49.9889357189$$
$$x_{37} = 44.2588438888$$
$$x_{38} = -48.4181393921$$
$$x_{39} = -7.57743489545$$
$$x_{40} = 30.1216769476$$
$$x_{41} = -71.980084294$$
$$x_{42} = 89.8119373658$$
$$x_{43} = -6.00663856865$$
$$x_{44} = 67.8207887907$$
$$x_{45} = -57.8429173529$$
$$x_{46} = 37.9756585816$$
$$x_{47} = 64.6791961371$$
$$x_{48} = -34.280972451$$
$$x_{49} = 52.1128255228$$
$$x_{50} = -23.2853981634$$
$$x_{51} = -37.4225651046$$
$$x_{52} = 83.5287520587$$
$$x_{53} = -95.542029196$$
$$x_{54} = -1.29424958827$$
$$x_{55} = -45.2765467385$$
$$x_{56} = -64.1261026601$$
$$x_{57} = -65.6968989869$$
$$x_{58} = 17.5553063333$$
$$x_{59} = -4.43584224186$$
$$x_{60} = 50.542029196$$
$$x_{61} = 61.5376034835$$
$$x_{62} = 86.6703447122$$
$$x_{63} = -51.5597320457$$
$$x_{64} = -87.688047562$$
$$x_{65} = 31.6924732744$$
$$x_{66} = 8.1305283725$$
$$x_{67} = -79.834065928$$
$$x_{68} = -89.2588438888$$
$$x_{69} = 53.6836218496$$
$$x_{70} = 75.6747704247$$
$$x_{71} = -15.4314165294$$
$$x_{72} = 36.4048622548$$
$$x_{73} = 20.6968989869$$
$$x_{74} = 14.4137136797$$
$$x_{75} = 6.55973204571$$
$$x_{76} = 85.0995483855$$
$$x_{77} = -86.1172512352$$
$$x_{78} = 80.3871594051$$
$$x_{79} = -67.2676953137$$
$$x_{80} = 22.2676953137$$
$$x_{81} = -92.4004365424$$
$$x_{82} = 72.5331777711$$
$$x_{83} = -27.9977871438$$
$$x_{84} = 15.9845100065$$
$$x_{85} = -70.4092879672$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(2*x + 45).
$$\cos{\left (0 \cdot 2 + 45 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \cos{\left (45 \right )}$$
Точка:
(0, cos(45))
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 2 \sin{\left (2 x + 45 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{45}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{45}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(-45/2, 1)

   45   pi     
(- -- + --, -1)
   2    2      


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{45}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{45}{2}$$
Убывает на промежутках
(-oo, -45/2] U [-45/2 + pi/2, oo)

Возрастает на промежутках
[-45/2, -45/2 + pi/2]
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 4 \cos{\left (2 x + 45 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{45}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{45}{2} + \frac{3 \pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-45/2 + pi/4, -45/2 + 3*pi/4]

Выпуклая на промежутках
(-oo, -45/2 + pi/4] U [-45/2 + 3*pi/4, oo)
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left (2 x + 45 \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left (2 x + 45 \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(2*x + 45), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (2 x + 45 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (2 x + 45 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (2 x + 45 \right )} = \cos{\left (2 x - 45 \right )}$$
- Нет
$$\cos{\left (2 x + 45 \right )} = - \cos{\left (2 x - 45 \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной