График функции y = (2*x-1)*e^(2/x)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
                  2
                  -
                  x
f(x) = (2*x - 1)*E 
$$f{\left (x \right )} = e^{\frac{2}{x}} \left(2 x - 1\right)$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{\frac{2}{x}} \left(2 x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.5$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x - 1)*E^(2/x).
$$\frac{1}{e^{\tilde{\infty}}} \left(-1 + 0 \cdot 2\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - e^{\tilde{\infty}}$$
Точка:
(0, -exp(±oo))
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 e^{\frac{2}{x}} - \frac{2 e^{\frac{2}{x}}}{x^{2}} \left(2 x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
     2 
(1, e )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
(-oo, 1]

Возрастает на промежутках
[1, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{4 e^{\frac{2}{x}}}{x^{2}} \left(-2 + \frac{1}{x} \left(2 x - 1\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(2 x - 1\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 e^{\frac{2}{x}}}{x^{2}} \left(-2 + \frac{1}{x} \left(2 x - 1\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(2 x - 1\right)\right)\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 e^{\frac{2}{x}}}{x^{2}} \left(-2 + \frac{1}{x} \left(2 x - 1\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(2 x - 1\right)\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 1]
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{\frac{2}{x}} \left(2 x - 1\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{\frac{2}{x}} \left(2 x - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x - 1)*E^(2/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{2}{x}}}{x} \left(2 x - 1\right)\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{2}{x}}}{x} \left(2 x - 1\right)\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 2 x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{\frac{2}{x}} \left(2 x - 1\right) = \left(- 2 x - 1\right) e^{- \frac{2}{x}}$$
- Нет
$$e^{\frac{2}{x}} \left(2 x - 1\right) = - \left(- 2 x - 1\right) e^{- \frac{2}{x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной