График функции y = sinh(pi)*(sin(x)+sin(2*x)+sin(3*x)+sin(4*x)+sin(5*x))/pi

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
       sinh(pi)*(sin(x) + sin(2*x) + sin(3*x) + sin(4*x) + sin(5*x))
f(x) = -------------------------------------------------------------
                                     pi                             
$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{\pi} \left(\sin{\left (x \right )} + \sin{\left (2 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )} + \sin{\left (4 x \right )} + \sin{\left (5 x \right )}\right) \sinh{\left (\pi \right )}$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (sinh(pi)*(sin(x) + sin(2*x) + sin(3*x) + sin(4*x) + sin(5*x)))/pi.
$$\frac{1}{\pi} \left(\sin{\left (0 \right )} + \sin{\left (0 \cdot 2 \right )} + \sin{\left (0 \cdot 3 \right )} + \sin{\left (0 \cdot 4 \right )} + \sin{\left (0 \cdot 5 \right )}\right) \sinh{\left (\pi \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\pi} \left(\sin{\left (x \right )} + \sin{\left (2 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )} + \sin{\left (4 x \right )} + \sin{\left (5 x \right )}\right) \sinh{\left (\pi \right )}\right) = \frac{1}{\pi} \langle - 5 \sinh{\left (\pi \right )}, 5 \sinh{\left (\pi \right )}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \frac{1}{\pi} \langle - 5 \sinh{\left (\pi \right )}, 5 \sinh{\left (\pi \right )}\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\pi} \left(\sin{\left (x \right )} + \sin{\left (2 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )} + \sin{\left (4 x \right )} + \sin{\left (5 x \right )}\right) \sinh{\left (\pi \right )}\right) = \frac{1}{\pi} \langle - 5 \sinh{\left (\pi \right )}, 5 \sinh{\left (\pi \right )}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \frac{1}{\pi} \langle - 5 \sinh{\left (\pi \right )}, 5 \sinh{\left (\pi \right )}\rangle$$
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (sinh(pi)*(sin(x) + sin(2*x) + sin(3*x) + sin(4*x) + sin(5*x)))/pi, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sinh{\left (\pi \right )}}{\pi x} \left(\sin{\left (x \right )} + \sin{\left (2 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )} + \sin{\left (4 x \right )} + \sin{\left (5 x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sinh{\left (\pi \right )}}{\pi x} \left(\sin{\left (x \right )} + \sin{\left (2 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )} + \sin{\left (4 x \right )} + \sin{\left (5 x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{\pi} \left(\sin{\left (x \right )} + \sin{\left (2 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )} + \sin{\left (4 x \right )} + \sin{\left (5 x \right )}\right) \sinh{\left (\pi \right )} = \frac{1}{\pi} \left(- \sin{\left (x \right )} - \sin{\left (2 x \right )} - \sin{\left (3 x \right )} - \sin{\left (4 x \right )} - \sin{\left (5 x \right )}\right) \sinh{\left (\pi \right )}$$
- Нет
$$\frac{1}{\pi} \left(\sin{\left (x \right )} + \sin{\left (2 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )} + \sin{\left (4 x \right )} + \sin{\left (5 x \right )}\right) \sinh{\left (\pi \right )} = - \frac{1}{\pi} \left(- \sin{\left (x \right )} - \sin{\left (2 x \right )} - \sin{\left (3 x \right )} - \sin{\left (4 x \right )} - \sin{\left (5 x \right )}\right) \sinh{\left (\pi \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной