График функции y = x^3-2*x^2+10*x+8

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        3      2           
f(x) = x  - 2*x  + 10*x + 8
$$f{\left (x \right )} = 10 x + x^{3} - 2 x^{2} + 8$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$10 x + x^{3} - 2 x^{2} + 8 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{190 + 6 \sqrt{1491}} + \frac{2}{3} + \frac{26}{3 \sqrt[3]{190 + 6 \sqrt{1491}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.677216791902$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - 2*x^2 + 10*x + 8.
$$0^{3} - 0 + 0 \cdot 10 + 8$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 8$$
Точка:
(0, 8)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x^{2} - 4 x + 10 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(3 x - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[2/3, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 2/3]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(10 x + x^{3} - 2 x^{2} + 8\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(10 x + x^{3} - 2 x^{2} + 8\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 2*x^2 + 10*x + 8, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(10 x + x^{3} - 2 x^{2} + 8\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(10 x + x^{3} - 2 x^{2} + 8\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$10 x + x^{3} - 2 x^{2} + 8 = - x^{3} - 2 x^{2} - 10 x + 8$$
- Нет
$$10 x + x^{3} - 2 x^{2} + 8 = - -1 x^{3} - - 2 x^{2} - - 10 x - 8$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной