График функции y = ((((x+2)^2)-8*x)^(1/2))/(((x)^(1/2))-2/(x^(1/2)))

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
          ________________
         /        2       
       \/  (x + 2)  - 8*x 
f(x) = -------------------
            ___     2     
          \/ x  - -----   
                    ___   
                  \/ x    
$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}} \sqrt{- 8 x + \left(x + 2\right)^{2}}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}} \sqrt{- 8 x + \left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt((x + 2)^2 - 8*x)/(sqrt(x) - 2/sqrt(x)).
$$\frac{\sqrt{- 0 + 2^{2}}}{\sqrt{0} - 2 \tilde{\infty}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{\left(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{2}} \left(- \frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) \sqrt{- 8 x + \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{x - 2}{\left(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}\right) \sqrt{- 8 x + \left(x + 2\right)^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}} \left(\frac{1}{\sqrt{- 8 x + \left(x + 2\right)^{2}}} - \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(- 8 x + \left(x + 2\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{2} \sqrt{- 8 x + \left(x + 2\right)^{2}}}{2 x \left(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{2}} - \frac{\left(1 + \frac{2}{x}\right) \left(x - 2\right)}{\sqrt{x} \left(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}\right) \sqrt{- 8 x + \left(x + 2\right)^{2}}} + \frac{\left(1 + \frac{6}{x}\right) \sqrt{- 8 x + \left(x + 2\right)^{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}\right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}} \sqrt{- 8 x + \left(x + 2\right)^{2}}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}} \sqrt{- 8 x + \left(x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt((x + 2)^2 - 8*x)/(sqrt(x) - 2/sqrt(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- 8 x + \left(x + 2\right)^{2}}}{x \left(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- 8 x + \left(x + 2\right)^{2}}}{x \left(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}} \sqrt{- 8 x + \left(x + 2\right)^{2}} = \frac{\sqrt{8 x + \left(- x + 2\right)^{2}}}{\sqrt{- x} - \frac{2}{\sqrt{- x}}}$$
- Нет
$$\frac{1}{\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}} \sqrt{- 8 x + \left(x + 2\right)^{2}} = - \frac{\sqrt{8 x + \left(- x + 2\right)^{2}}}{\sqrt{- x} - \frac{2}{\sqrt{- x}}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной