Точки, в которых функция точно неопределена: $$x_{1} = -1$$ $$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: $$\frac{x^{2}}{x^{4} - 1} = 0$$ Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение $$x_{1} = 0$$ Численное решение $$x_{1} = 0$$ $$x_{2} = 9.85841562554 \cdot 10^{-7}$$ $$x_{3} = -8.43656474654 \cdot 10^{-7}$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^2/(x^4 - 1). $$\frac{0^{2}}{-1 + 0^{4}}$$ Результат: $$f{\left (0 \right )} = 0$$ Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$ Первая производная $$- \frac{4 x^{5}}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{4} - 1} = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = 0$$ Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумов у функции нет Максимумы функции в точках: $$x_{1} = 0$$ Убывает на промежутках
(-oo, 0]
Возрастает на промежутках
[0, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$ (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$ Вторая производная $$\frac{1}{x^{4} - 1} \left(\frac{32 x^{8}}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}} - \frac{28 x^{4}}{x^{4} - 1} + 2\right) = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть: $$x_{1} = -1$$ $$x_{2} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{4} - 1}\right) = 0$$ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: $$y = 0$$ $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{4} - 1}\right) = 0$$ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: $$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2/(x^4 - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{4} - 1}\right) = 0$$ Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{4} - 1}\right) = 0$$ Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: $$\frac{x^{2}}{x^{4} - 1} = \frac{x^{2}}{x^{4} - 1}$$ - Да $$\frac{x^{2}}{x^{4} - 1} = - \frac{x^{2}}{x^{4} - 1}$$ - Нет значит, функция является чётной