График функции y = (-x^3)/3-2*x^2+3

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
         3            
       -x        2    
f(x) = ---- - 2*x  + 3
        3             
$$f{\left (x \right )} = - 2 x^{2} + \frac{-1 x^{3}}{3} + 3$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 2 x^{2} + \frac{-1 x^{3}}{3} + 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2 - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{189}{2} + \frac{81 i}{2} \sqrt{23}} - \frac{12}{\sqrt[3]{\frac{189}{2} + \frac{81 i}{2} \sqrt{23}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.12398317951$$
$$x_{2} = -1.3985344442$$
$$x_{3} = -5.7254487353$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (-x^3)/3 - 2*x^2 + 3.
$$\frac{1}{3} \left(-1 \cdot 0^{3}\right) - 0 + 3$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 3$$
Точка:
(0, 3)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- x^{2} - 4 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(-4, -23/3)

(0, 3)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
[-4, 0]

Возрастает на промежутках
(-oo, -4] U [0, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 2 \left(x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -2]

Выпуклая на промежутках
[-2, oo)
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 x^{2} + \frac{-1 x^{3}}{3} + 3\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x^{2} + \frac{-1 x^{3}}{3} + 3\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (-x^3)/3 - 2*x^2 + 3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 2 x^{2} + \frac{-1 x^{3}}{3} + 3\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 2 x^{2} + \frac{-1 x^{3}}{3} + 3\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 2 x^{2} + \frac{-1 x^{3}}{3} + 3 = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3$$
- Нет
$$- 2 x^{2} + \frac{-1 x^{3}}{3} + 3 = - \frac{x^{3}}{3} - - 2 x^{2} - 3$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной