График функции y = x^3/(3-x^2)

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
          3  
         x   
f(x) = ------
            2
       3 - x 
$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{3}}{- x^{2} + 3}$$
График функции
Область определения функции
[TeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{- x^{2} + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/(3 - x^2).
$$\frac{0^{3}}{- 0 + 3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x^{4}}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{- x^{2} + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
(-3, 9/2)

(0, 0)

(3, -9/2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = -3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 3$$
Убывает на промежутках
[-3, 3]

Возрастает на промежутках
(-oo, -3] U [3, oo)
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2 x}{x^{2} - 3} \left(- \frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} + \frac{7 x^{2}}{x^{2} - 3} - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$

$$\lim_{x \to -1.73205080756888^-}\left(\frac{2 x}{x^{2} - 3} \left(- \frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} + \frac{7 x^{2}}{x^{2} - 3} - 3\right)\right) = -1.42390973880125 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to -1.73205080756888^+}\left(\frac{2 x}{x^{2} - 3} \left(- \frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} + \frac{7 x^{2}}{x^{2} - 3} - 3\right)\right) = -1.42390973880125 \cdot 10^{48}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
$$\lim_{x \to 1.73205080756888^-}\left(\frac{2 x}{x^{2} - 3} \left(- \frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} + \frac{7 x^{2}}{x^{2} - 3} - 3\right)\right) = 1.42390973880125 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to 1.73205080756888^+}\left(\frac{2 x}{x^{2} - 3} \left(- \frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} + \frac{7 x^{2}}{x^{2} - 3} - 3\right)\right) = 1.42390973880125 \cdot 10^{48}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 0]
Вертикальные асимптоты
[TeX]
Есть:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{- x^{2} + 3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{- x^{2} + 3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/(3 - x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{- x^{2} + 3} = - \frac{x^{3}}{- x^{2} + 3}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{- x^{2} + 3} = - \frac{-1 x^{3}}{- x^{2} + 3}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной