Интеграл (-3-16*x^2+16*x)*(1-3*x^2+2*x^3) (dx)

Вы ввели

  1                                         
  /                                         
 |                                          
 |  /         2       \ /       2      3\   
 |  \-3 - 16*x  + 16*x/*\1 - 3*x  + 2*x / dx
 |                                          
/                                           
0                                           

$$\int_{0}^{1} \left(16 x + - 16 x^{2} - 3\right) \left(2 x^{3} + - 3 x^{2} + 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(16 x + - 16 x^{2} - 3\right) \left(2 x^{3} + - 3 x^{2} + 1\right) = - 32 x^{5} + 80 x^{4} - 54 x^{3} - 7 x^{2} + 16 x - 3$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 32 x^{5}\, dx = - 32 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{16 x^{6}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 80 x^{4}\, dx = 80 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $16 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 54 x^{3}\, dx = - 54 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{27 x^{4}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 7 x^{2}\, dx = - 7 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{7 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 16 x\, dx = 16 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $8 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -3\, dx = - 3 x$

      Результат есть: $- \frac{16 x^{6}}{3} + 16 x^{5} - \frac{27 x^{4}}{2} - \frac{7 x^{3}}{3} + 8 x^{2} - 3 x$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(16 x + - 16 x^{2} - 3\right) \left(2 x^{3} + - 3 x^{2} + 1\right) = - 32 x^{5} + 80 x^{4} - 54 x^{3} - 16 x^{2} + 9 x^{2} + 16 x - 3$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 32 x^{5}\, dx = - 32 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{16 x^{6}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 80 x^{4}\, dx = 80 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $16 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 54 x^{3}\, dx = - 54 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{27 x^{4}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 16 x^{2}\, dx = - 16 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{16 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 9 x^{2}\, dx = 9 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $3 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 16 x\, dx = 16 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $8 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -3\, dx = - 3 x$

      Результат есть: $- \frac{16 x^{6}}{3} + 16 x^{5} - \frac{27 x^{4}}{2} - \frac{7 x^{3}}{3} + 8 x^{2} - 3 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x}{6} \left(- 32 x^{5} + 96 x^{4} - 81 x^{3} - 14 x^{2} + 48 x - 18\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{6} \left(- 32 x^{5} + 96 x^{4} - 81 x^{3} - 14 x^{2} + 48 x - 18\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{6} \left(- 32 x^{5} + 96 x^{4} - 81 x^{3} - 14 x^{2} + 48 x - 18\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                
  /                                                
 |                                                 
 |  /         2       \ /       2      3\          
 |  \-3 - 16*x  + 16*x/*\1 - 3*x  + 2*x / dx = -1/6
 |                                                 
/                                                  
0                                                  

$$-{{1}\over{6}}$$

Численный ответ

-0.166666666666667

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                        
 |                                                                         4       6      3
 | /         2       \ /       2      3\                   2       5   27*x    16*x    7*x 
 | \-3 - 16*x  + 16*x/*\1 - 3*x  + 2*x / dx = C - 3*x + 8*x  + 16*x  - ----- - ----- - ----
 |                                                                       2       3      3  
/                                                                                          

$$-{{32\,x^6-96\,x^5+81\,x^4+14\,x^3-48\,x^2+18\,x}\over{6}}$$