Интеграл 1/(1+4*x^2) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dx
 |         2   
 |  1 + 4*x    
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{4 x^{2} + 1}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /           
 |            
 |    1       
 | -------- dx
 |        2   
 | 1 + 4*x    
 |            
/             

Перепишем подинтегральную функцию

   1            1     
-------- = -----------
       2         2    
1 + 4*x    (-2*x)  + 1

или

  /             
 |              
 |    1         
 | -------- dx  
 |        2    =
 | 1 + 4*x      
 |              
/               
  

  /              
 |               
 |      1        
 | ----------- dx
 |       2       
 | (-2*x)  + 1   
 |               
/                

В интеграле

  /              
 |               
 |      1        
 | ----------- dx
 |       2       
 | (-2*x)  + 1   
 |               
/                

сделаем замену

v = -2*x

тогда

интеграл =

  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv = atan(v)
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/                     

делаем обратную замену

  /                          
 |                           
 |      1           atan(2*x)
 | ----------- dx = ---------
 |       2              2    
 | (-2*x)  + 1               
 |                           
/                            

Решением будет:

    atan(2*x)
C + ---------
        2    

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |     1          atan(2)
 |  -------- dx = -------
 |         2         2   
 |  1 + 4*x              
 |                       
/                        
0                        

$${{\arctan 2}\over{2}}$$

Численный ответ

0.553574358897045

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                            
 |    1              atan(2*x)
 | -------- dx = C + ---------
 |        2              2    
 | 1 + 4*x                    
 |                            
/                             

$${{\arctan \left(2\,x\right)}\over{2}}$$