Интеграл ((1+x^(1/2))^3)/x^(1/3) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |             3   
 |  /      ___\    
 |  \1 + \/ x /    
 |  ------------ dx
 |     3 ___       
 |     \/ x        
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{3}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt[3]{x}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ и подставим $du$:

      $\int 3 u^{\frac{11}{2}} + 9 u^{\frac{5}{2}} + 9 u^{4} + 3 u\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 3 u^{\frac{11}{2}}\, du = 3 \int u^{\frac{11}{2}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{\frac{11}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{13}{2}}}{13}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{6 u^{\frac{13}{2}}}{13}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 9 u^{\frac{5}{2}}\, du = 9 \int u^{\frac{5}{2}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{\frac{5}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{18 u^{\frac{7}{2}}}{7}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 9 u^{4}\, du = 9 \int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{9 u^{5}}{5}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 3 u\, du = 3 \int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3 u^{2}}{2}$

         Результат есть: $\frac{6 u^{\frac{13}{2}}}{13} + \frac{18 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{9 u^{5}}{5} + \frac{3 u^{2}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{6 x^{\frac{13}{6}}}{13} + \frac{18 x^{\frac{7}{6}}}{7} + \frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{3} = x^{\frac{7}{6}} + 3 \sqrt[6]{x} + 3 x^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{\frac{7}{6}}\, dx = \frac{6 x^{\frac{13}{6}}}{13}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 \sqrt[6]{x}\, dx = 3 \int \sqrt[6]{x}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \sqrt[6]{x}\, dx = \frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{18 x^{\frac{7}{6}}}{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 x^{\frac{2}{3}}\, dx = 3 \int x^{\frac{2}{3}}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{\frac{2}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

      Результат есть: $\frac{6 x^{\frac{13}{6}}}{13} + \frac{18 x^{\frac{7}{6}}}{7} + \frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{6 x^{\frac{13}{6}}}{13} + \frac{18 x^{\frac{7}{6}}}{7} + \frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{6 x^{\frac{13}{6}}}{13} + \frac{18 x^{\frac{7}{6}}}{7} + \frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |             3          
 |  /      ___\           
 |  \1 + \/ x /       5763
 |  ------------ dx = ----
 |     3 ___          910 
 |     \/ x               
 |                        
/                         
0                         

$${{5763}\over{910}}$$

Численный ответ

6.33296703296672

Ответ (Неопределённый)

  /                                                         
 |                                                          
 |            3                                             
 | /      ___\              2/3      13/6      5/3       7/6
 | \1 + \/ x /           3*x      6*x       9*x      18*x   
 | ------------ dx = C + ------ + ------- + ------ + -------
 |    3 ___                2         13       5         7   
 |    \/ x                                                  
 |                                                          
/                                                           

$${{420\,x^{{{13}\over{6}}}+1638\,x^{{{5}\over{3}}}+2340\,x^{{{7 }\over{6}}}+1365\,x^{{{2}\over{3}}}}\over{910}}$$