Интеграл 5^(4-3*x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   4 - 3*x   
 |  5        dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} 5^{- 3 x + 4}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - 3 x + 4$.

      Тогда пусть $du = - 3 dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

      $\int 5^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5^{u}\, du = - \frac{1}{3} \int 5^{u}\, du$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left (5 \right )}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{5^{u}}{3 \log{\left (5 \right )}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{5^{- 3 x + 4}}{3 \log{\left (5 \right )}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $5^{- 3 x + 4} = 625 \cdot 5^{- 3 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 625 \cdot 5^{- 3 x}\, dx = 625 \int 5^{- 3 x}\, dx$

      1. пусть $u = - 3 x$.

         Тогда пусть $du = - 3 dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

         $\int 5^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 5^{u}\, du = - \frac{1}{3} \int 5^{u}\, du$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left (5 \right )}}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{5^{u}}{3 \log{\left (5 \right )}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{5^{- 3 x}}{3 \log{\left (5 \right )}}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{625 \cdot 5^{- 3 x}}{3 \log{\left (5 \right )}}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{625 \cdot 125^{- x}}{3 \log{\left (5 \right )}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{625 \cdot 125^{- x}}{3 \log{\left (5 \right )}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{625 \cdot 125^{- x}}{3 \log{\left (5 \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |   4 - 3*x        620   
 |  5        dx = --------
 |                3*log(5)
/                         
0                         

$${{620}\over{3\,\log 5}}$$

Численный ответ

128.409219808986

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    4 - 3*x
 |  4 - 3*x          5       
 | 5        dx = C - --------
 |                   3*log(5)
/                            

$$-{{5^{4-3\,x}}\over{3\,\log 5}}$$