Интеграл sin(2*x)*cos(2*x) (dx)

Вы ввели

  1                     
  /                     
 |                      
 |  sin(2*x)*cos(2*x) dx
 |                      
/                       
0                       

$$\int_{0}^{1} \sin{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sin{\left (2 x \right )}$.

      Тогда пусть $du = 2 \cos{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int u\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u\, du = \frac{1}{2} \int u\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{2}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{4} \sin^{2}{\left (2 x \right )}$

   Метод #2

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \sin{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \sin{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \sin{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. пусть $u = \cos{\left (u \right )}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left (u \right )} du$ и подставим $- du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2} \cos^{2}{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (2 x \right )}$

   Метод #3

   1. пусть $u = \cos{\left (2 x \right )}$.

      Тогда пусть $du = - 2 \sin{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int u\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u\, du = - \frac{1}{2} \int u\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (2 x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{4} \sin^{2}{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{4} \sin^{2}{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                               
  /                           2   
 |                         sin (2)
 |  sin(2*x)*cos(2*x) dx = -------
 |                            4   
/                                 
0                                 

$${{1}\over{4}}-{{\cos ^22}\over{4}}$$

Численный ответ

0.206705452607951

Ответ (Неопределённый)

  /                              2     
 |                            sin (2*x)
 | sin(2*x)*cos(2*x) dx = C + ---------
 |                                4    
/                                      

$$-{{\cos ^2\left(2\,x\right)}\over{4}}$$