Интеграл (3-5*x)/(1-x^2)^(1/2) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |    3 - 5*x     
 |  ----------- dx
 |     ________   
 |    /      2    
 |  \/  1 - x     
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \frac{- 5 x + 3}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{- 5 x + 3}{\sqrt{- x^{2} + 1}} = - \frac{5 x}{\sqrt{- x^{2} + 1}} + \frac{3}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{5 x}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx = - 5 \int \frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx$

      1. пусть $u = - x^{2} + 1$.

         Тогда пусть $du = - 2 x dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \sqrt{- x^{2} + 1}$

      Таким образом, результат будет: $5 \sqrt{- x^{2} + 1}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{3}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx$

      ArcsinRule(context=1/sqrt(-x**2 + 1), symbol=x)

      Таким образом, результат будет: $3 \operatorname{asin}{\left (x \right )}$

   Результат есть: $5 \sqrt{- x^{2} + 1} + 3 \operatorname{asin}{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $5 \sqrt{- x^{2} + 1} + 3 \operatorname{asin}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$5 \sqrt{- x^{2} + 1} + 3 \operatorname{asin}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                           
  /                           
 |                            
 |    3 - 5*x             3*pi
 |  ----------- dx = -5 + ----
 |     ________            2  
 |    /      2                
 |  \/  1 - x                 
 |                            
/                             
0                             

$${{3\,\pi-10}\over{2}}$$

Численный ответ

-0.287611018668073

Ответ (Неопределённый)

  /                                              
 |                                       ________
 |   3 - 5*x                            /      2 
 | ----------- dx = C + 3*asin(x) + 5*\/  1 - x  
 |    ________                                   
 |   /      2                                    
 | \/  1 - x                                     
 |                                               
/                                                

$$3\,\arcsin x+5\,\sqrt{1-x^2}$$