Интеграл (3*x-1)/(x^2+2*x+5) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |    3*x - 1      
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  + 2*x + 5   
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} \frac{3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 5}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /               
 |                
 |   3*x - 1      
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 2*x + 5   
 |                
/                 

Перепишем подинтегральную функцию

                   2*x + 2                    
               3*------------                 
                  2                           
  3*x - 1        x  + 2*x + 5         1       
------------ = -------------- - --------------
 2                   2                   2    
x  + 2*x + 5                    /  x   1\     
                                |- - - -|  + 1
                                \  2   2/     

или

  /                 
 |                  
 |   3*x - 1        
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  + 2*x + 5     
 |                  
/                   
  

                             /               
                            |                
                            |   2*x + 2      
                         3* | ------------ dx
                            |  2             
    /                       | x  + 2*x + 5   
   |                        |                
   |       1               /                 
-  | -------------- dx + --------------------
   |          2                   2          
   | /  x   1\                               
   | |- - - -|  + 1                          
   | \  2   2/                               
   |                                         
  /                                          

В интеграле

    /               
   |                
   |   2*x + 2      
3* | ------------ dx
   |  2             
   | x  + 2*x + 5   
   |                
  /                 
--------------------
         2          

сделаем замену

     2      
u = x  + 2*x

тогда

интеграл =

    /                       
   |                        
   |   1                    
3* | ----- du               
   | 5 + u                  
   |                        
  /             3*log(5 + u)
------------- = ------------
      2              2      

делаем обратную замену

    /                                     
   |                                      
   |   2*x + 2                            
3* | ------------ dx                      
   |  2                                   
   | x  + 2*x + 5                         
   |                        /     2      \
  /                    3*log\5 + x  + 2*x/
-------------------- = -------------------
         2                      2         

В интеграле

   /                 
  |                  
  |       1          
- | -------------- dx
  |          2       
  | /  x   1\        
  | |- - - -|  + 1   
  | \  2   2/        
  |                  
 /                   

сделаем замену

      1   x
v = - - - -
      2   2

тогда

интеграл =

   /                    
  |                     
  |   1                 
- | ------ dv = -atan(v)
  |      2              
  | 1 + v               
  |                     
 /                      

делаем обратную замену

   /                                  
  |                                   
  |       1                    /1   x\
- | -------------- dx = -2*atan|- + -|
  |          2                 \2   2/
  | /  x   1\                         
  | |- - - -|  + 1                    
  | \  2   2/                         
  |                                   
 /                                    

Решением будет:

                         /     2      \
          /1   x\   3*log\5 + x  + 2*x/
C - 2*atan|- + -| + -------------------
          \2   2/            2         

Ответ

  1                                                         
  /                                                         
 |                                                          
 |    3*x - 1                       3*log(5)   pi   3*log(8)
 |  ------------ dx = 2*atan(1/2) - -------- - -- + --------
 |   2                                 2       2       2    
 |  x  + 2*x + 5                                            
 |                                                          
/                                                           
0                                                           

$${{3\,\log 8}\over{2}}-{{3\,\log 5}\over{2}}+2\,\arctan \left({{1 }\over{2}}\right)-{{\pi}\over{2}}$$

Численный ответ

0.0615043350753189

Ответ (Неопределённый)

  /                                                         
 |                                            /     2      \
 |   3*x - 1                   /1   x\   3*log\5 + x  + 2*x/
 | ------------ dx = C - 2*atan|- + -| + -------------------
 |  2                          \2   2/            2         
 | x  + 2*x + 5                                             
 |                                                          
/                                                           

$${{3\,\log \left(x^2+2\,x+5\right)}\over{2}}-2\,\arctan \left({{2\,x +2}\over{4}}\right)$$