Интеграл 8*x-3^x+4/(x^(1/4)) (dx)

Вы ввели

  1                      
  /                      
 |                       
 |  /       x     4  \   
 |  |8*x - 3  + -----| dx
 |  |           4 ___|   
 |  \           \/ x /   
 |                       
/                        
0                        

$$\int_{0}^{1} - 3^{x} + 8 x + \frac{4}{\sqrt[4]{x}}\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 3^{x}\, dx = - \int 3^{x}\, dx$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 3^{x}\, dx = \frac{3^{x}}{\log{\left (3 \right )}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{3^{x}}{\log{\left (3 \right )}}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 8 x\, dx = 8 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $4 x^{2}$

      Результат есть: $- \frac{3^{x}}{\log{\left (3 \right )}} + 4 x^{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{4}{\sqrt[4]{x}}\, dx = 4 \int \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \sqrt[4]{x}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ и подставим $4 du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{2}\, du = 4 \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{4 u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{4 x^{\frac{3}{4}}}{3}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{\sqrt[4]{x}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$

         2. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\, dx = \frac{4 x^{\frac{3}{4}}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{16 x^{\frac{3}{4}}}{3}$

   Результат есть: $- \frac{3^{x}}{\log{\left (3 \right )}} + \frac{16 x^{\frac{3}{4}}}{3} + 4 x^{2}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{3 \log{\left (3 \right )}} \left(- 3^{x + 1} + \left(4 x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{2}\right) \log{\left (81 \right )}\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{3 \log{\left (3 \right )}} \left(- 3^{x + 1} + \left(4 x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{2}\right) \log{\left (81 \right )}\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{3 \log{\left (3 \right )}} \left(- 3^{x + 1} + \left(4 x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{2}\right) \log{\left (81 \right )}\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                    
  /                                    
 |                                     
 |  /       x     4  \      28     2   
 |  |8*x - 3  + -----| dx = -- - ------
 |  |           4 ___|      3    log(3)
 |  \           \/ x /                 
 |                                     
/                                      
0                                      

$${{28\,\log 3-6}\over{3\,\log 3}}$$

Численный ответ

7.51285488007963

Ответ (Неопределённый)

  /                                                   
 |                                        3/4      x  
 | /       x     4  \             2   16*x        3   
 | |8*x - 3  + -----| dx = C + 4*x  + ------- - ------
 | |           4 ___|                    3      log(3)
 | \           \/ x /                                 
 |                                                    
/                                                     

$$-{{3^{x}}\over{\log 3}}+4\,x^2+{{16\,x^{{{3}\over{4}}}}\over{3}}$$