Интеграл x^2/(x^2-4*x+3) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |        2        
 |       x         
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  - 4*x + 3   
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} - 4 x + 3}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{2}}{x^{2} - 4 x + 3} = 1 - \frac{1}{2 x - 2} + \frac{9}{2 x - 6}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{2 x - 2}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{9}{2 x - 6}\, dx = \frac{9}{2} \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

      1. пусть $u = x - 3$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 3 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{9}{2} \log{\left (x - 3 \right )}$

   Результат есть: $x + \frac{9}{2} \log{\left (x - 3 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + \frac{9}{2} \log{\left (x - 3 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + \frac{9}{2} \log{\left (x - 3 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                              
  /                              
 |                               
 |        2                      
 |       x                       
 |  ------------ dx = oo - 4*pi*I
 |   2                           
 |  x  - 4*x + 3                 
 |                               
/                                
0                                

$${\it \%a}$$

Численный ответ

21.2208727816753

Ответ (Неопределённый)

  /                                                     
 |                                                      
 |       2                                              
 |      x                    log(-1 + x)   9*log(-3 + x)
 | ------------ dx = C + x - ----------- + -------------
 |  2                             2              2      
 | x  - 4*x + 3                                         
 |                                                      
/                                                       

$$x-{{\log \left(x-1\right)}\over{2}}+{{9\,\log \left(x-3\right) }\over{2}}$$