Интеграл (x^2-4*x+1)*e^-x (dx)

Вы ввели

  1                      
  /                      
 |                       
 |  / 2          \  -x   
 |  \x  - 4*x + 1/*E   dx
 |                       
/                        
0                        

$$\int_{0}^{1} e^{- x} \left(x^{2} - 4 x + 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int - u^{2} e^{u} - 4 u e^{u} - e^{u}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - u^{2} e^{u}\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du$

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left (u \right )} = u^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

               Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 2 u$ dx.

               Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left (u \right )} = 2 u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

               Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 2$ dx.

               Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Теперь решаем под-интеграл.

            3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - 4 u e^{u}\, du = - 4 \int u e^{u}\, du$

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

               Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

               Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- 4 u e^{u} + 4 e^{u}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Результат есть: $- u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + e^{- x}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{- x} \left(x^{2} - 4 x + 1\right) = x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} + e^{- x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{2} e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{2} e^{u}\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du$

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left (u \right )} = u^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

               Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 2 u$ dx.

               Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left (u \right )} = 2 u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

               Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 2$ dx.

               Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Теперь решаем под-интеграл.

            3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 4 x e^{- x}\, dx = - 4 \int x e^{- x}\, dx$

         1. пусть $u = - x$.

            Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

            $\int u e^{u}\, du$

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

               Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

               Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- x e^{- x} - e^{- x}$

         Таким образом, результат будет: $4 x e^{- x} + 4 e^{- x}$

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

      Результат есть: $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + e^{- x}$

2. Теперь упростить:

   $\left(- x^{2} + 2 x + 1\right) e^{- x}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(- x^{2} + 2 x + 1\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\left(- x^{2} + 2 x + 1\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                   
  /                                   
 |                                    
 |  / 2          \  -x              -1
 |  \x  - 4*x + 1/*E   dx = -1 + 2*e  
 |                                    
/                                     
0                                     

$${{\left(E+2\right)\,\left(\log E\right)^2+\left(2-4\,E\right)\, \log E+2\,E-2}\over{E\,\left(\log E\right)^3}}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                                                  
 |                                                   
 | / 2          \  -x           2  -x        -x    -x
 | \x  - 4*x + 1/*E   dx = C - x *e   + 2*x*e   + e  
 |                                                   
/                                                    

$$-{{\left(\left(\log E\right)^2\,x^2+2\,\log E\,x+2\right)\,e^ {- \log E\,x }}\over{\left(\log E\right)^3}}+{{4\,\left(\log E\,x+1 \right)\,e^ {- \log E\,x }}\over{\left(\log E\right)^2}}-{{1}\over{E ^{x}\,\log E}}$$