Интеграл (x^2-1)/(x^3+1) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |   2       
 |  x  - 1   
 |  ------ dx
 |   3       
 |  x  + 1   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 1} = \frac{x - 1}{x^{2} - x + 1}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x - 1}{x^{2} - x + 1} = \frac{x}{x^{2} - x + 1} - \frac{1}{x^{2} - x + 1}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

         Но интеграл

         $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x^{2} - x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} - x + 1}\, dx$

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

      Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 1} = \frac{x^{2}}{x^{3} + 1} - \frac{1}{x^{3} + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = x^{3} + 1$.

         Тогда пусть $du = 3 x^{2} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{3} \log{\left (x^{3} + 1 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x^{3} + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x^{3} + 1}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{3} + 1} = - \frac{x - 2}{3 x^{2} - 3 x + 3} + \frac{1}{3 x + 3}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{x - 2}{3 x^{2} - 3 x + 3}\, dx = - \frac{1}{3} \int \frac{x - 2}{x^{2} - x + 1}\, dx$

               1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\frac{x - 2}{x^{2} - x + 1} = \frac{x}{x^{2} - x + 1} - \frac{2}{x^{2} - x + 1}$

               2. Интегрируем почленно:

                  1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

                     Но интеграл

                     $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{2}{x^{2} - x + 1}\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{2} - x + 1}\, dx$

                     1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

                        Но интеграл

                        $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

                  Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{3 x + 3}\, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (x + 1 \right )}$

            Результат есть: $\frac{1}{3} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

      Результат есть: $- \frac{1}{3} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{3} \log{\left (x^{3} + 1 \right )} + \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x - 1\right) \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x - 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x - 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |   2                ___ 
 |  x  - 1      -pi*\/ 3  
 |  ------ dx = ----------
 |   3              9     
 |  x  + 1                
 |                        
/                         
0                         

$$-{{\pi}\over{3^{{{3}\over{2}}}}}$$

Численный ответ

-0.604599788078073

Ответ (Неопределённый)

  /                                            /    ___         ___\
 |                                     ___     |  \/ 3    2*x*\/ 3 |
 |  2                 /     2    \   \/ 3 *atan|- ----- + ---------|
 | x  - 1          log\1 + x  - x/             \    3         3    /
 | ------ dx = C + --------------- - -------------------------------
 |  3                     2                         3               
 | x  + 1                                                           
 |                                                                  
/                                                                   

$${{\log \left(x^2-x+1\right)}\over{2}}-{{\arctan \left({{2\,x-1 }\over{\sqrt{3}}}\right)}\over{\sqrt{3}}}$$