Интеграл (x^3)/(x-1)^12 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |       3      
 |      x       
 |  --------- dx
 |         12   
 |  (x - 1)     
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{\left(x - 1\right)^{12}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{3}}{\left(x - 1\right)^{12}} = \frac{1}{\left(x - 1\right)^{9}} + \frac{3}{\left(x - 1\right)^{10}} + \frac{3}{\left(x - 1\right)^{11}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{12}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{9}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{9}}\, du = - \frac{1}{8 u^{8}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{8 \left(x - 1\right)^{8}}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{\left(x - 1\right)^{9}} = \frac{1}{x^{9} - 9 x^{8} + 36 x^{7} - 84 x^{6} + 126 x^{5} - 126 x^{4} + 84 x^{3} - 36 x^{2} + 9 x - 1}$

         2. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{9} - 9 x^{8} + 36 x^{7} - 84 x^{6} + 126 x^{5} - 126 x^{4} + 84 x^{3} - 36 x^{2} + 9 x - 1} = \frac{1}{\left(x - 1\right)^{9}}$

            None

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{\left(x - 1\right)^{10}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{10}}\, dx$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{10}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{10}}\, du = - \frac{1}{9 u^{9}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{9 \left(x - 1\right)^{9}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3 \left(x - 1\right)^{9}}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{\left(x - 1\right)^{11}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{11}}\, dx$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{11}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{11}}\, du = - \frac{1}{10 u^{10}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{10 \left(x - 1\right)^{10}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{3}{10 \left(x - 1\right)^{10}}$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u^{12}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{12}}\, du = - \frac{1}{11 u^{11}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{11 \left(x - 1\right)^{11}}$

      Результат есть: $- \frac{1}{8 \left(x - 1\right)^{8}} - \frac{1}{3 \left(x - 1\right)^{9}} - \frac{3}{10 \left(x - 1\right)^{10}} - \frac{1}{11 \left(x - 1\right)^{11}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{3}}{\left(x - 1\right)^{12}} = \frac{x^{3}}{x^{12} - 12 x^{11} + 66 x^{10} - 220 x^{9} + 495 x^{8} - 792 x^{7} + 924 x^{6} - 792 x^{5} + 495 x^{4} - 220 x^{3} + 66 x^{2} - 12 x + 1}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{3}}{x^{12} - 12 x^{11} + 66 x^{10} - 220 x^{9} + 495 x^{8} - 792 x^{7} + 924 x^{6} - 792 x^{5} + 495 x^{4} - 220 x^{3} + 66 x^{2} - 12 x + 1} = \frac{1}{\left(x - 1\right)^{9}} + \frac{3}{\left(x - 1\right)^{10}} + \frac{3}{\left(x - 1\right)^{11}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{12}}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u^{9}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{9}}\, du = - \frac{1}{8 u^{8}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{8 \left(x - 1\right)^{8}}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{\left(x - 1\right)^{10}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{10}}\, dx$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{10}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{10}}\, du = - \frac{1}{9 u^{9}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{9 \left(x - 1\right)^{9}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3 \left(x - 1\right)^{9}}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{\left(x - 1\right)^{11}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{11}}\, dx$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{11}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{11}}\, du = - \frac{1}{10 u^{10}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{10 \left(x - 1\right)^{10}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{3}{10 \left(x - 1\right)^{10}}$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u^{12}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{12}}\, du = - \frac{1}{11 u^{11}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{11 \left(x - 1\right)^{11}}$

      Результат есть: $- \frac{1}{8 \left(x - 1\right)^{8}} - \frac{1}{3 \left(x - 1\right)^{9}} - \frac{3}{10 \left(x - 1\right)^{10}} - \frac{1}{11 \left(x - 1\right)^{11}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{1320 \left(x - 1\right)^{11}} \left(- 396 x - 165 \left(x - 1\right)^{3} - 440 \left(x - 1\right)^{2} + 276\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{1320 \left(x - 1\right)^{11}} \left(- 396 x - 165 \left(x - 1\right)^{3} - 440 \left(x - 1\right)^{2} + 276\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{1320 \left(x - 1\right)^{11}} \left(- 396 x - 165 \left(x - 1\right)^{3} - 440 \left(x - 1\right)^{2} + 276\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |       3            
 |      x             
 |  --------- dx = -oo
 |         12         
 |  (x - 1)           
 |                    
/                     
0                     

$${\it \%a}$$

Численный ответ

6.74010649626236e+208

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                            
 |                                                                             
 |      3                                                                      
 |     x                    3              1             1              1      
 | --------- dx = C - ------------- - ----------- - ----------- - -------------
 |        12                     10             9             8              11
 | (x - 1)            10*(-1 + x)     3*(-1 + x)    8*(-1 + x)    11*(-1 + x)  
 |                                                                             
/                                                                              

$$-{{165\,x^3-55\,x^2+11\,x-1}\over{1320\,x^{11}-14520\,x^{10}+72600 \,x^9-217800\,x^8+435600\,x^7-609840\,x^6+609840\,x^5-435600\,x^4+ 217800\,x^3-72600\,x^2+14520\,x-1320}}$$