Интеграл (2*sin(x)+3*cos(x))/(cos(x))^3 (dx)

Вы ввели

  1                       
  /                       
 |                        
 |  2*sin(x) + 3*cos(x)   
 |  ------------------- dx
 |           3            
 |        cos (x)         
 |                        
/                         
0                         

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\cos^{3}{\left (x \right )}} \left(2 \sin{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )}\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{\cos^{3}{\left (x \right )}} \left(2 \sin{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )}\right) = \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} + \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 u^{2}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}}\, dx = 3 \int \frac{\cos{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}}\, dx$

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

         Но интеграл

         $\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{3 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

   Результат есть: $\frac{3 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\frac{3}{2} \sin{\left (2 x \right )} + 1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\frac{3}{2} \sin{\left (2 x \right )} + 1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\frac{3}{2} \sin{\left (2 x \right )} + 1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                                                                   
  /                                                                                                                   
 |                                          3                             2                                           
 |  2*sin(x) + 3*cos(x)                6*tan (1/2)                   4*tan (1/2)                    6*tan(1/2)        
 |  ------------------- dx = - --------------------------- + --------------------------- + ---------------------------
 |           3                        4             2               4             2               4             2     
 |        cos (x)              1 + tan (1/2) - 2*tan (1/2)   1 + tan (1/2) - 2*tan (1/2)   1 + tan (1/2) - 2*tan (1/2)
 |                                                                                                                    
/                                                                                                                     
0                                                                                                                     

$$3\,\tan 1+{{1}\over{\cos ^21}}-1$$

Численный ответ

7.09774199477947

Ответ (Неопределённый)

  /                                               
 |                                                
 | 2*sin(x) + 3*cos(x)             1      3*sin(x)
 | ------------------- dx = C + ------- + --------
 |          3                      2       cos(x) 
 |       cos (x)                cos (x)           
 |                                                
/                                                 

$$3\,\tan x+{{1}\over{\cos ^2x}}$$

Упростить