Интеграл (x^2+1)*e^(2*x) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                 
      /                 
     |                  
     |  / 2    \  2*x   
     |  \x  + 1/*E    dx
     |                  
    /                   
    0                   
    $$\int_{0}^{1} e^{2 x} \left(x^{2} + 1\right)\, dx$$
    Подробное решение
    [TeX]
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Интегрируем почленно:

      1. Используем интегрирование по частям:

        пусть и пусть dx.

        Затем dx.

        Чтобы найти :

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Используем интегрирование по частям:

        пусть и пусть dx.

        Затем dx.

        Чтобы найти :

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Теперь решаем под-интеграл.

      3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Результат есть:

    3. Теперь упростить:

    4. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                              
      /                              
     |                              2
     |  / 2    \  2*x        3   3*e 
     |  \x  + 1/*E    dx = - - + ----
     |                       4    4  
    /                                
    0                                
    $${{4\,E^2\,\left(\log E\right)^2-2\,E^2\,\log E+E^2}\over{4\,\left( \log E\right)^3}}-{{2\,\left(\log E\right)^2+1}\over{4\,\left(\log E \right)^3}}$$
    Численный ответ
    [pretty]
    [text]
    4.79179207419799
    Ответ (Неопределённый)
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /                                                
     |                           2*x    2  2*x      2*x
     | / 2    \  2*x          3*e      x *e      x*e   
     | \x  + 1/*E    dx = C + ------ + ------- - ------
     |                          4         2        2   
    /                                                  
    $${{\left(2\,\left(\log E\right)^2\,x^2-2\,\log E\,x+1\right)\,e^{2\, \log E\,x}}\over{4\,\left(\log E\right)^3}}+{{E^{2\,x}}\over{2\, \log E}}$$