Интеграл (x^3*dx)/((x^2+1)^2) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1             
      /             
     |              
     |       3      
     |      x       
     |  --------- dx
     |          2   
     |  / 2    \    
     |  \x  + 1/    
     |              
    /               
    0               
    $$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\, dx$$
    Подробное решение
    [TeX]
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть .

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть :

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Результат есть:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

      3. Интегрируем почленно:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть .

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть :

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Результат есть:

    2. Теперь упростить:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                            
      /                            
     |                             
     |       3                     
     |      x            1   log(2)
     |  --------- dx = - - + ------
     |          2        4     2   
     |  / 2    \                   
     |  \x  + 1/                   
     |                             
    /                              
    0                              
    $${{\log 2}\over{2}}-{{1}\over{4}}$$
    Численный ответ
    [pretty]
    [text]
    0.0965735902799727
    Ответ (Неопределённый)
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /                                           
     |                                            
     |      3                             /     2\
     |     x                  1        log\1 + x /
     | --------- dx = C + ---------- + -----------
     |         2            /     2\        2     
     | / 2    \           2*\1 + x /              
     | \x  + 1/                                   
     |                                            
    /                                             
    $${{\log \left(x^2+1\right)}\over{2}}+{{1}\over{2\,x^2+2}}$$