Интеграл (5*x+3)/(sqrt(3-x^2)) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |    5*x + 3     
 |  ----------- dx
 |     ________   
 |    /      2    
 |  \/  3 - x     
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \frac{5 x + 3}{\sqrt{- x^{2} + 3}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{5 x + 3}{\sqrt{- x^{2} + 3}} = \frac{5 x}{\sqrt{- x^{2} + 3}} + \frac{3}{\sqrt{- x^{2} + 3}}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{5 x}{\sqrt{- x^{2} + 3}}\, dx = 5 \int \frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 3}}\, dx$

      1. пусть $u = - x^{2} + 3$.

         Тогда пусть $du = - 2 x dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \sqrt{- x^{2} + 3}$

      Таким образом, результат будет: $- 5 \sqrt{- x^{2} + 3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{3}{\sqrt{- x^{2} + 3}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 3}}\, dx$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 3}}\, dx = \frac{\sqrt{3}}{3} \int \frac{1}{\sqrt{- \frac{x^{2}}{3} + 1}}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{\sqrt{3} x}{3}$.

            Тогда пусть $du = \frac{\sqrt{3} dx}{3}$ и подставим $\sqrt{3} du$:

            $\int \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, dx = \sqrt{3} \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, dx$

               ArcsinRule(context=1/sqrt(-u**2 + 1), symbol=u)

               Таким образом, результат будет: $\sqrt{3} \operatorname{asin}{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\sqrt{3} \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $3 \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} \right )}$

   Результат есть: $- 5 \sqrt{- x^{2} + 3} + 3 \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- 5 \sqrt{- x^{2} + 3} + 3 \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- 5 \sqrt{- x^{2} + 3} + 3 \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                     
  /                                                     
 |                                     /  ___\          
 |    5*x + 3              ___         |\/ 3 |       ___
 |  ----------- dx = - 5*\/ 2  + 3*asin|-----| + 5*\/ 3 
 |     ________                        \  3  /          
 |    /      2                                          
 |  \/  3 - x                                           
 |                                                      
/                                                       
0                                                       

$$3\,\arcsin \left({{1}\over{\sqrt{3}}}\right)+5\,\sqrt{3}-5\,\sqrt{2 }$$

Численный ответ

3.43562535199007

Ответ (Неопределённый)

  /                                                    
 |                           ________         /    ___\
 |   5*x + 3                /      2          |x*\/ 3 |
 | ----------- dx = C - 5*\/  3 - x   + 3*asin|-------|
 |    ________                                \   3   /
 |   /      2                                          
 | \/  3 - x                                           
 |                                                     
/                                                      

$$3\,\arcsin \left({{x}\over{\sqrt{3}}}\right)-5\,\sqrt{3-x^2}$$

Упростить