Интеграл 1/sqrt(9*x^2+2) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |        1         
 |  ------------- dx
 |     __________   
 |    /    2        
 |  \/  9*x  + 2    
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} + 2}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{\sqrt{9 x^{2} + 2}} = \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} + 2}}$

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} + 2}}\, dx = \frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{1}{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{2} + 1}}\, dx$

   1. пусть $u = \frac{3 x}{2} \sqrt{2}$.

      Тогда пусть $du = \frac{3 \sqrt{2}}{2} dx$ и подставим $\frac{\sqrt{2} du}{3}$:

      $\int \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{u^{2} + 1}}\, dx = \frac{\sqrt{2}}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, dx$

         InverseHyperbolicRule(func=asinh, context=1/sqrt(u**2 + 1), symbol=u)

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{2}}{3} \operatorname{asinh}{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sqrt{2}}{3} \operatorname{asinh}{\left (\frac{3 x}{2} \sqrt{2} \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \operatorname{asinh}{\left (\frac{3 x}{2} \sqrt{2} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{3} \operatorname{asinh}{\left (\frac{3 x}{2} \sqrt{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{3} \operatorname{asinh}{\left (\frac{3 x}{2} \sqrt{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         /    ___\
  /                         |3*\/ 2 |
 |                     asinh|-------|
 |        1                 \   2   /
 |  ------------- dx = --------------
 |     __________            3       
 |    /    2                         
 |  \/  9*x  + 2                     
 |                                   
/                                    
0                                    

$${{{\rm asinh}\; \left({{3}\over{\sqrt{2}}}\right)}\over{3}}$$

Численный ответ

0.498870474354397

Ответ (Неопределённый)

                               /      ___\
  /                            |3*x*\/ 2 |
 |                        asinh|---------|
 |       1                     \    2    /
 | ------------- dx = C + ----------------
 |    __________                 3        
 |   /    2                               
 | \/  9*x  + 2                           
 |                                        
/                                         

$$\int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} + 2}}\, dx = C + \frac{1}{3} \operatorname{asinh}{\left (\frac{3 x}{2} \sqrt{2} \right )}$$

Упростить