Интеграл x/((x^2)+1) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1          
      /          
     |           
     |    x      
     |  ------ dx
     |   2       
     |  x  + 1   
     |           
    /            
    0            
    $$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$$
    Подробное решение
    Дан интеграл:
      /         
     |          
     |   x      
     | ------ dx
     |  2       
     | x  + 1   
     |          
    /           
    Перепишем подинтегральную функцию
             /    2*x     \            
             |------------|            
             | 2          |            
      x      \x  + 0*x + 1/       0    
    ------ = -------------- + ---------
     2             2              2    
    x  + 1                    (-x)  + 1
    или
      /           
     |            
     |   x        
     | ------ dx  
     |  2        =
     | x  + 1     
     |            
    /             
      
      /               
     |                
     |     2*x        
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  + 0*x + 1   
     |                
    /                 
    ------------------
            2         
    В интеграле
      /               
     |                
     |     2*x        
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  + 0*x + 1   
     |                
    /                 
    ------------------
            2         
    сделаем замену
         2
    u = x 
    тогда
    интеграл =
      /                     
     |                      
     |   1                  
     | ----- du             
     | 1 + u                
     |                      
    /             log(1 + u)
    ----------- = ----------
         2            2     
    делаем обратную замену
      /                             
     |                              
     |     2*x                      
     | ------------ dx              
     |  2                           
     | x  + 0*x + 1                 
     |                      /     2\
    /                    log\1 + x /
    ------------------ = -----------
            2                 2     
    В интеграле
    0
    сделаем замену
    v = -x
    тогда
    интеграл =
    True
    делаем обратную замену
    True
    Решением будет:
           /     2\
        log\1 + x /
    C + -----------
             2     
    График
    Ответ [src]
      1                   
      /                   
     |                    
     |    x         log(2)
     |  ------ dx = ------
     |   2            2   
     |  x  + 1            
     |                    
    /                     
    0                     
    $${{\log 2}\over{2}}$$
    Численный ответ [src]
    0.346573590279973
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                           
     |                    / 2    \
     |   x             log\x  + 1/
     | ------ dx = C + -----------
     |  2                   2     
     | x  + 1                     
     |                            
    /                             
    $${{\log \left(x^2+1\right)}\over{2}}$$