Интеграл (sin(x)*cos(x))/e^(-sin(x)) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |  sin(x)*cos(x)   
 |  ------------- dx
 |      -sin(x)     
 |     E            
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} \frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{e^{- \sin{\left (x \right )}}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $e^{\sin{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} - e^{\sin{\left (x \right )}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{e^{- \sin{\left (x \right )}}} = e^{\sin{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   2. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $e^{\sin{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} - e^{\sin{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростить:

   $\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right) e^{\sin{\left (x \right )}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right) e^{\sin{\left (x \right )}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right) e^{\sin{\left (x \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                
  /                                                
 |                                                 
 |  sin(x)*cos(x)           sin(1)    sin(1)       
 |  ------------- dx = 1 - e       + e      *sin(1)
 |      -sin(x)                                    
 |     E                                           
 |                                                 
/                                                  
0                                                  

$${{\sin 1\,e^{\sin 1\,\log E}\,\log E-e^{\sin 1\,\log E}}\over{ \left(\log E\right)^2}}+{{1}\over{\left(\log E\right)^2}}$$

Численный ответ

0.632248064512331

Ответ (Неопределённый)

  /                                               
 |                                                
 | sin(x)*cos(x)           sin(x)    sin(x)       
 | ------------- dx = C - e       + e      *sin(x)
 |     -sin(x)                                    
 |    E                                           
 |                                                
/                                                 

$${{e^{\log E\,\sin x}\,\left(\log E\,\sin x-1\right)}\over{\left( \log E\right)^2}}$$

Упростить