∫ Найти интеграл от y = f(x) = 1/(cos(x)) dx (1 делить на (косинус от (х))) - с подробным решением онлайн [Есть ОТВЕТ!]

Интеграл 1/(cos(x)) (dx)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1          
      /          
     |           
     |    1      
     |  ------ dx
     |  cos(x)   
     |           
    /            
    0            
    $$\int_{0}^{1} \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}\, dx$$
    Подробное решение
    Дан интеграл:
      /         
     |          
     |   1      
     | ------ dx
     | cos(x)   
     |          
    /           
    Подинтегральная функция
      1   
    ------
    cos(x)
    Домножим числитель и знаменатель на
    cos(x)
    получим
      1       cos(x)
    ------ = -------
    cos(x)      2   
             cos (x)
    Т.к.
    sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
    то
       2             2   
    cos (x) = 1 - sin (x)
    преобразуем знаменатель
     cos(x)      cos(x)  
    ------- = -----------
       2             2   
    cos (x)   1 - sin (x)
    сделаем замену
    u = sin(x)
    тогда интеграл
      /                
     |                 
     |    cos(x)       
     | ----------- dx  
     |        2       =
     | 1 - sin (x)     
     |                 
    /                  
      
      /                
     |                 
     |    cos(x)       
     | ----------- dx  
     |        2       =
     | 1 - sin (x)     
     |                 
    /                  
      
    Т.к. du = dx*cos(x)
      /         
     |          
     |   1      
     | ------ du
     |      2   
     | 1 - u    
     |          
    /           
    Перепишем подинтегральную функцию
               1       1  
             ----- + -----
      1      1 - u   1 + u
    ------ = -------------
         2         2      
    1 - u                 
    тогда
                     /             /          
                    |             |           
                    |   1         |   1       
                    | ----- du    | ----- du  
      /             | 1 + u       | 1 - u     
     |              |             |           
     |   1         /             /           =
     | ------ du = ----------- + -----------  
     |      2           2             2       
     | 1 - u                                  
     |                                        
    /                                         
      
    = log(1 + u)/2 - log(-1 + u)/2
    делаем обратную замену
    u = sin(x)
    Ответ
      /                                                   
     |                                                    
     |   1         log(1 + sin(x))   log(-1 + sin(x))     
     | ------ dx = --------------- - ---------------- + C0
     | cos(x)             2                 2             
     |                                                    
    /                                                     
    где C0 - это постоянная, не зависящая от x
    График
    Ответ [src]
      1                                              
      /                                              
     |                                               
     |    1         log(1 + sin(1))   log(1 - sin(1))
     |  ------ dx = --------------- - ---------------
     |  cos(x)             2                 2       
     |                                               
    /                                                
    0                                                
    $${{\log \left(\sin 1+1\right)}\over{2}}-{{\log \left(1-\sin 1\right) }\over{2}}$$
    Численный ответ [src]
    1.22619117088352
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                  
     |                                                   
     |   1             log(1 + sin(x))   log(-1 + sin(x))
     | ------ dx = C + --------------- - ----------------
     | cos(x)                 2                 2        
     |                                                   
    /                                                    
    $${{\log \left(\sin x+1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\sin x-1\right) }\over{2}}$$
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: