Интеграл sin(t)^(3) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1           
      /           
     |            
     |     3      
     |  sin (t) dt
     |            
    /             
    0             
    $$\int_{0}^{1} \sin^{3}{\left (t \right )}\, dt$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл есть :

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Результат есть:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть :

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

        Результат есть:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                  
      /                                  
     |                               3   
     |     3         2            cos (1)
     |  sin (t) dt = - - cos(1) + -------
     |               3               3   
    /                                    
    0                                    
    $${{\cos ^31-3\,\cos 1}\over{3}}+{{2}\over{3}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.178940562548858
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                 
     |                              3   
     |    3                      cos (t)
     | sin (t) dt = C - cos(t) + -------
     |                              3   
    /                                   
    $${{\cos ^3t}\over{3}}-\cos t$$