Интеграл 2/(x^2+2) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1          
      /          
     |           
     |    2      
     |  ------ dx
     |   2       
     |  x  + 2   
     |           
    /            
    0            
    $$\int_{0}^{1} \frac{2}{x^{2} + 2}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дан интеграл:
      /         
     |          
     |   2      
     | ------ dx
     |  2       
     | x  + 2   
     |          
    /           
    Перепишем подинтегральную функцию
      2             1        
    ------ = ----------------
     2                  2    
    x  + 2   /   ___   \     
             |-\/ 2    |     
             |-------*x|  + 1
             \   2     /     
    или
      /           
     |            
     |   2        
     | ------ dx  
     |  2        =
     | x  + 2     
     |            
    /             
      
      /                   
     |                    
     |        1           
     | ---------------- dx
     |            2       
     | /   ___   \        
     | |-\/ 2    |        
     | |-------*x|  + 1   
     | \   2     /        
     |                    
    /                     
    В интеграле
      /                   
     |                    
     |        1           
     | ---------------- dx
     |            2       
     | /   ___   \        
     | |-\/ 2    |        
     | |-------*x|  + 1   
     | \   2     /        
     |                    
    /                     
    сделаем замену
             ___ 
        -x*\/ 2  
    v = ---------
            2    
    тогда
    интеграл =
      /                   
     |                    
     |   1                
     | ------ dv = atan(v)
     |      2             
     | 1 + v              
     |                    
    /                     
    делаем обратную замену
      /                                         
     |                                 /    ___\
     |        1                ___     |x*\/ 2 |
     | ---------------- dx = \/ 2 *atan|-------|
     |            2                    \   2   /
     | /   ___   \                              
     | |-\/ 2    |                              
     | |-------*x|  + 1                         
     | \   2     /                              
     |                                          
    /                                           
    Решением будет:
                  /    ___\
          ___     |x*\/ 2 |
    C + \/ 2 *atan|-------|
                  \   2   /
    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                              
      /                              
     |                        /  ___\
     |    2           ___     |\/ 2 |
     |  ------ dx = \/ 2 *atan|-----|
     |   2                    \  2  /
     |  x  + 2                       
     |                               
    /                                
    0                                
    $$\sqrt{2}\,\arctan \left({{1}\over{\sqrt{2}}}\right)$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.870419751367103
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                   
     |                           /    ___\
     |   2               ___     |x*\/ 2 |
     | ------ dx = C + \/ 2 *atan|-------|
     |  2                        \   2   /
     | x  + 2                             
     |                                    
    /                                     
    $$\sqrt{2}\,\arctan \left({{x}\over{\sqrt{2}}}\right)$$