Интеграл 4*x/(1+x^2) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1          
      /          
     |           
     |   4*x     
     |  ------ dx
     |       2   
     |  1 + x    
     |           
    /            
    0            
    $$\int_{0}^{1} \frac{4 x}{x^{2} + 1}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дан интеграл:
      /         
     |          
     |  4*x     
     | ------ dx
     |      2   
     | 1 + x    
     |          
    /           
    Перепишем подинтегральную функцию
     4*x           2*x            0    
    ------ = 2*------------ + ---------
         2      2                 2    
    1 + x      x  + 0*x + 1   (-x)  + 1
    или
      /           
     |            
     |  4*x       
     | ------ dx  
     |      2    =
     | 1 + x      
     |            
    /             
      
        /               
       |                
       |     2*x        
    2* | ------------ dx
       |  2             
       | x  + 0*x + 1   
       |                
      /                 
    В интеграле
        /               
       |                
       |     2*x        
    2* | ------------ dx
       |  2             
       | x  + 0*x + 1   
       |                
      /                 
    сделаем замену
         2
    u = x 
    тогда
    интеграл =
        /                       
       |                        
       |   1                    
    2* | ----- du = 2*log(1 + u)
       | 1 + u                  
       |                        
      /                         
    делаем обратную замену
        /                               
       |                                
       |     2*x                /     2\
    2* | ------------ dx = 2*log\1 + x /
       |  2                             
       | x  + 0*x + 1                   
       |                                
      /                                 
    В интеграле
    0
    сделаем замену
    v = -x
    тогда
    интеграл =
    True
    делаем обратную замену
    True
    Решением будет:
             /     2\
    C + 2*log\1 + x /
    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                     
      /                     
     |                      
     |   4*x                
     |  ------ dx = 2*log(2)
     |       2              
     |  1 + x               
     |                      
    /                       
    0                       
    $$2\,\log 2$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    1.38629436111989
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                             
     |                              
     |  4*x                 /     2\
     | ------ dx = C + 2*log\1 + x /
     |      2                       
     | 1 + x                        
     |                              
    /                               
    $$2\,\log \left(x^2+1\right)$$