Интеграл 1/((9*x^2+3)^(1/2)) (dx)

  1                 
  /                 
 |                  
 |        1         
 |  ------------- dx
 |     __________   
 |    /    2        
 |  \/  9*x  + 3    
 |                  
/                   
0                   

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{\sqrt{9 x^{2} + 3}} = \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} + 3}}$

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} + 3}}\, dx = \frac{\sqrt{3}}{3} \int \frac{1}{\sqrt{3 x^{2} + 1}}\, dx$

   1. пусть $u = \sqrt{3} x$.

      Тогда пусть $du = \sqrt{3} dx$ и подставим $\frac{\sqrt{3} du}{3}$:

      $\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{u^{2} + 1}}\, dx = \frac{\sqrt{3}}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, dx$

         InverseHyperbolicRule(func=asinh, context=1/sqrt(u**2 + 1), symbol=u)

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{asinh}{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{asinh}{\left (\sqrt{3} x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \operatorname{asinh}{\left (\sqrt{3} x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{3} \operatorname{asinh}{\left (\sqrt{3} x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{1}{3} \operatorname{asinh}{\left (\sqrt{3} x \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                                
  /                                
 |                          /  ___\
 |        1            asinh\\/ 3 /
 |  ------------- dx = ------------
 |     __________           3      
 |    /    2                       
 |  \/  9*x  + 3                   
 |                                 
/                                  
0                                  

0.438985965641606