Интеграл sin(2*x)^3 (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1             
      /             
     |              
     |     3        
     |  sin (2*x) dx
     |              
    /               
    0               
    $$\int_{0}^{1} \sin^{3}{\left (2 x \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть :

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Результат есть:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть :

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Результат есть:

    3. Теперь упростить:

    4. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                    
      /                                    
     |                                 3   
     |     3           1   cos(2)   cos (2)
     |  sin (2*x) dx = - - ------ + -------
     |                 3     2         6   
    /                                      
    0                                      
    $${{\cos ^32-3\,\cos 2}\over{6}}+{{1}\over{3}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.52939549231561
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                       
     |                                  3     
     |    3               cos(2*x)   cos (2*x)
     | sin (2*x) dx = C - -------- + ---------
     |                       2           6    
    /                                         
    $${{{{\cos ^3\left(2\,x\right)}\over{3}}-\cos \left(2\,x\right) }\over{2}}$$