Интеграл log(sin(x)) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1               
      /               
     |                
     |  log(sin(x)) dx
     |                
    /                 
    0                 
    $$\int_{0}^{1} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Используем интегрирование по частям:

      пусть и пусть dx.

      Затем dx.

      Чтобы найти :

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

    3. Теперь упростить:

    4. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    Ответ
    [LaTeX]
      1                    1               
      /                    /               
     |                    |                
     |  log(sin(x)) dx =  |  log(sin(x)) dx
     |                    |                
    /                    /                 
    0                    0                 
    $$-i\,\arctan \left({{\sin 1}\over{\cos 1+1}}\right)-i\,\arctan \left({{\sin 1}\over{\cos 1-1}}\right)+\log \sin 1-{{\log \left(2\, \cos 1+2\right)}\over{2}}-{{\log \left(2-2\,\cos 1\right)}\over{2}}+ i\,{\it li}_{2}(e^{i})+i\,{\it li}_{2}(-e^{i})-{{i\,\pi^2}\over{12}} +{{i}\over{2}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    -1.05672020599159
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
                              /                           
      /                      |                            
     |                       | x*cos(x)                   
     | log(sin(x)) dx = C -  | -------- dx + x*log(sin(x))
     |                       |  sin(x)                    
    /                        |                            
                            /                             
    $$x\,\log \sin x-{{x\,\log \left(\sin ^2x+\cos ^2x+2\,\cos x+1\right) +x\,\log \left(\sin ^2x+\cos ^2x-2\,\cos x+1\right)+2\,i\,x\, {\rm atan2}\left(\sin x , \cos x+1\right)-2\,i\,x\,{\rm atan2}\left( \sin x , 1-\cos x\right)-2\,i\,{\it li}_{2}(e^{i\,x})-2\,i\,{\it li} _{2}(-e^{i\,x})-i\,x^2}\over{2}}$$