Интеграл sin(x)/cos(x)^(5) (dx)

  1           
  /           
 |            
 |   sin(x)   
 |  ------- dx
 |     5      
 |  cos (x)   
 |            
/             
0             

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{5}{\left (x \right )}} = \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{5}{\left (x \right )}}$

2. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

   Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

   $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4 u^{4}}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\frac{1}{4 \cos^{4}{\left (x \right )}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{4 \cos^{4}{\left (x \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{1}{4 \cos^{4}{\left (x \right )}}+ \mathrm{constant}$

  1                                             
  /                                             
 |                                              
 |   sin(x)        1               1            
 |  ------- dx = - - + -------------------------
 |     5           4            2           4   
 |  cos (x)            4 - 8*sin (1) + 4*sin (1)
 |                                              
/                                               
0                                               

2.68354479793904

  /                          
 |                           
 |  sin(x)              1    
 | ------- dx = C + ---------
 |    5                  4   
 | cos (x)          4*cos (x)
 |                           
/