Интеграл sin(x)^(4)*cos(x)^(4) (dx)

Вы ввели

  1                   
  /                   
 |                    
 |     4       4      
 |  sin (x)*cos (x) dx
 |                    
/                     
0                     

$$\int_{0}^{1} \sin^{4}{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{4}{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )} = \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} \left(\frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} \left(\frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{16} \cos^{4}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{8} \cos^{2}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{16}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{16} \cos^{4}{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{16} \int \cos^{4}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{4}{\left (2 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left (4 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{64} \sin{\left (8 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

         Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{64} \sin{\left (8 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{128} + \frac{1}{128} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{1024} \sin{\left (8 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{8} \cos^{2}{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{8} \int \cos^{2}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{2}{\left (2 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{16} - \frac{1}{64} \sin{\left (4 x \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$

   Результат есть: $\frac{3 x}{128} - \frac{1}{128} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{1024} \sin{\left (8 x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 x}{128} - \frac{1}{128} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{1024} \sin{\left (8 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 x}{128} - \frac{1}{128} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{1024} \sin{\left (8 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                            
  /                                                            
 |                                                  3          
 |     4       4          3    3*cos(2)*sin(2)   sin (2)*cos(2)
 |  sin (x)*cos (x) dx = --- - --------------- - --------------
 |                       128         256              128      
/                                                              
0                                                              

$${{\sin 8-8\,\sin 4+24}\over{1024}}$$

Численный ответ

0.0303161896573113

Ответ (Неопределённый)

  /                                                  
 |                                                   
 |    4       4             sin(4*x)   sin(8*x)   3*x
 | sin (x)*cos (x) dx = C - -------- + -------- + ---
 |                            128        1024     128
/                                                    

$${{{{{{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+4\,x}\over{8}}-{{\sin \left( 4\,x\right)}\over{2}}+x}\over{64}}$$

Упростить