Интеграл x*asin(x) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1             
      /             
     |              
     |  x*asin(x) dx
     |              
    /               
    0               
    $$\int_{0}^{1} x \operatorname{asin}{\left (x \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Используем интегрирование по частям:

      пусть и пусть dx.

      Затем dx.

      Чтобы найти :

      1. Интеграл есть :

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=-cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=And(x < 1, x > -1), context=x**2/sqrt(-x**2 + 1), symbol=x)

      Таким образом, результат будет:

    3. Теперь упростить:

    4. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                  
      /                  
     |                 pi
     |  x*asin(x) dx = --
     |                 8 
    /                    
    0                    
    $${{\pi}\over{8}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.392699081698724
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
                          /               ________                                     
                          |              /      2                                      
                          <asin(x)   x*\/  1 - x                                       
      /                   |------- - -------------  for And(x > -1, x < 1)    2        
     |                    \   2            2                                 x *asin(x)
     | x*asin(x) dx = C - ------------------------------------------------ + ----------
     |                                           2                               2     
    /                                                                                  
    $${{x^2\,\arcsin x}\over{2}}-{{{{\arcsin x}\over{2}}-{{x\,\sqrt{1-x^2 }}\over{2}}}\over{2}}$$