Интеграл x*sqrt(x^2) (dx)

  1             
  /             
 |              
 |       ____   
 |      /  2    
 |  x*\/  x   dx
 |              
/               
0               

1. пусть $u = x^{2}$.

   Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

   $\int \sqrt{u}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \sqrt{u}\, du = \frac{1}{2} \int \sqrt{u}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\frac{\left(x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

  1                   
  /                   
 |                    
 |       ____         
 |      /  2          
 |  x*\/  x   dx = 1/3
 |                    
/                     
0                     

0.333333333333333

  /                          
 |                        3/2
 |      ____          / 2\   
 |     /  2           \x /   
 | x*\/  x   dx = C + -------
 |                       3   
/