Интеграл (y-1)*log(y) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1                  
      /                  
     |                   
     |  (y - 1)*log(y) dy
     |                   
    /                    
    0                    
    $$\int_{0}^{1} \left(y - 1\right) \log{\left (y \right )}\, dy$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Интегрируем почленно:

      1. Используем интегрирование по частям:

        пусть и пусть dx.

        Затем dx.

        Чтобы найти :

        1. Интеграл есть :

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Интеграл есть :

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Используем интегрирование по частям:

          пусть и пусть dx.

          Затем dx.

          Чтобы найти :

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        Таким образом, результат будет:

      Результат есть:

    3. Теперь упростить:

    4. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                        
      /                        
     |                         
     |  (y - 1)*log(y) dy = 3/4
     |                         
    /                          
    0                          
    $${{3}\over{4}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.75
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                             2    2                  
     |                             y    y *log(y)           
     | (y - 1)*log(y) dy = C + y - -- + --------- - y*log(y)
     |                             4        2               
    /                                                       
    $$\left({{y^2}\over{2}}-y\right)\,\log y-{{y^2-4\,y}\over{4}}$$