Интеграл atan(2*x)/(pi*(1+4*x^2)) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1                 
      /                 
     |                  
     |    atan(2*x)     
     |  ------------- dx
     |     /       2\   
     |  pi*\1 + 4*x /   
     |                  
    /                   
    0                   
    $$\int_{0}^{1} \frac{\operatorname{atan}{\left (2 x \right )}}{\pi \left(4 x^{2} + 1\right)}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Интеграл есть :

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Интеграл есть :

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

    2. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                            
      /                            
     |                         2   
     |    atan(2*x)        atan (2)
     |  ------------- dx = --------
     |     /       2\        4*pi  
     |  pi*\1 + 4*x /              
     |                             
    /                              
    0                              
    $${{\arctan ^22}\over{4\,\pi}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.0975443364619887
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                 
     |                            2     
     |   atan(2*x)            atan (2*x)
     | ------------- dx = C + ----------
     |    /       2\             4*pi   
     | pi*\1 + 4*x /                    
     |                                  
    /                                   
    $${{\arctan ^2\left(2\,x\right)}\over{4\,\pi}}$$