Интеграл 2*pi*(8*sin(x/2)-4*x*cos(x/2))*2*x (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                                    
      /                                    
     |                                     
     |       /     /x\          /x\\       
     |  2*pi*|8*sin|-| - 4*x*cos|-||*2*x dx
     |       \     \2/          \2//       
     |                                     
    /                                      
    0                                      
    $$\int_{0}^{1} x 2 \cdot 2 \pi \left(- 4 x \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + 8 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}\right)\, dx$$
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Используем интегрирование по частям:

          пусть и пусть dx.

          Затем dx.

          Чтобы найти :

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Используем интегрирование по частям:

          пусть и пусть dx.

          Затем dx.

          Чтобы найти :

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Теперь решаем под-интеграл.

        3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Используем интегрирование по частям:

          пусть и пусть dx.

          Затем dx.

          Чтобы найти :

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Таким образом, результат будет:

      Результат есть:

    3. Теперь упростить:

    4. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ [src]
      1                                                                        
      /                                                                        
     |                                                                         
     |       /     /x\          /x\\                                           
     |  2*pi*|8*sin|-| - 4*x*cos|-||*2*x dx = 4*pi*(-48*cos(1/2) + 88*sin(1/2))
     |       \     \2/          \2//                                           
     |                                                                         
    /                                                                          
    0                                                                          
    $$4\,\left(88\,\sin \left({{1}\over{2}}\right)-48\,\cos \left({{1 }\over{2}}\right)\right)\,\pi$$
    Численный ответ [src]
    0.822901572012919
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                                                                                        
     |                                                                                                                         
     |      /     /x\          /x\\                    /        /x\      2    /x\          /x\\         /     /x\          /x\\
     | 2*pi*|8*sin|-| - 4*x*cos|-||*2*x dx = C - 16*pi*|- 16*sin|-| + 2*x *sin|-| + 8*x*cos|-|| + 32*pi*|4*sin|-| - 2*x*cos|-||
     |      \     \2/          \2//                    \        \2/           \2/          \2//         \     \2/          \2//
     |                                                                                                                         
    /                                                                                                                          
    $$16\,\pi\,\left(8\,\left(\sin \left({{x}\over{2}}\right)-{{\cos \left({{x}\over{2}}\right)\,x}\over{2}}\right)-8\,\left(\sin \left( {{x}\over{2}}\right)\,\left({{x^2}\over{4}}-2\right)+\cos \left({{x }\over{2}}\right)\,x\right)\right)$$