Интеграл 2*pi*(8*sin(x/2)-4*x*cos(x/2))*2*x (dx)

Вы ввели

  1                                    
  /                                    
 |                                     
 |       /     /x\          /x\\       
 |  2*pi*|8*sin|-| - 4*x*cos|-||*2*x dx
 |       \     \2/          \2//       
 |                                     
/                                      
0                                      

$$\int_{0}^{1} x 2 \cdot 2 \pi \left(- 4 x \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + 8 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x 2 \cdot 2 \pi \left(- 4 x \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + 8 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) = - 16 \pi x^{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + 32 \pi x \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 16 \pi x^{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = - 16 \pi \int x^{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 2 x$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = 4 x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 4$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = 2 \int \sin{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- 2 \cos{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- 2 \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 8 \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = - 8 \int \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 16 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 16 \pi \left(2 x^{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + 8 x \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} - 16 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}\right)$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 32 \pi x \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = 32 \pi \int x \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = 2 \int \sin{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- 2 \cos{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- 2 \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 2 \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = - 2 \int \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 4 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $32 \pi \left(- 2 x \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + 4 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}\right)$

   Результат есть: $32 \pi \left(- 2 x \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + 4 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) - 16 \pi \left(2 x^{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + 8 x \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} - 16 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}\right)$

3. Теперь упростить:

   $32 \pi \left(- x^{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} - 6 x \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + 12 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $32 \pi \left(- x^{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} - 6 x \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + 12 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$32 \pi \left(- x^{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} - 6 x \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + 12 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                        
  /                                                                        
 |                                                                         
 |       /     /x\          /x\\                                           
 |  2*pi*|8*sin|-| - 4*x*cos|-||*2*x dx = 4*pi*(-48*cos(1/2) + 88*sin(1/2))
 |       \     \2/          \2//                                           
 |                                                                         
/                                                                          
0                                                                          

$$4\,\left(88\,\sin \left({{1}\over{2}}\right)-48\,\cos \left({{1 }\over{2}}\right)\right)\,\pi$$

Численный ответ

0.822901572012919

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                                        
 |                                                                                                                         
 |      /     /x\          /x\\                    /        /x\      2    /x\          /x\\         /     /x\          /x\\
 | 2*pi*|8*sin|-| - 4*x*cos|-||*2*x dx = C - 16*pi*|- 16*sin|-| + 2*x *sin|-| + 8*x*cos|-|| + 32*pi*|4*sin|-| - 2*x*cos|-||
 |      \     \2/          \2//                    \        \2/           \2/          \2//         \     \2/          \2//
 |                                                                                                                         
/                                                                                                                          

$$16\,\pi\,\left(8\,\left(\sin \left({{x}\over{2}}\right)-{{\cos \left({{x}\over{2}}\right)\,x}\over{2}}\right)-8\,\left(\sin \left( {{x}\over{2}}\right)\,\left({{x^2}\over{4}}-2\right)+\cos \left({{x }\over{2}}\right)\,x\right)\right)$$

Упростить