∫ Найти интеграл от y = f(x) = (cos(x/8)-sin(x/8))^2 dx ((косинус от (х делить на 8) минус синус от (х делить на 8)) в квадрате) - с подробным решением онлайн [Есть ОТВЕТ!]

Интеграл (cos(x/8)-sin(x/8))^2 (dx)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                      
      /                      
     |                       
     |                   2   
     |  /   /x\      /x\\    
     |  |cos|-| - sin|-||  dx
     |  \   \8/      \8//    
     |                       
    /                        
    0                        
    $$\int_{0}^{1} \left(- \sin{\left (\frac{x}{8} \right )} + \cos{\left (\frac{x}{8} \right )}\right)^{2}\, dx$$
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        Результат есть:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

          Метод #1

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть :

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Метод #2

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1. Интеграл есть :

                  Таким образом, результат будет:

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Метод #3

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть :

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        Результат есть:

      Результат есть:

    3. Теперь упростить:

    4. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ [src]
      1                                                
      /                                                
     |                                                 
     |                   2                             
     |  /   /x\      /x\\          2             2     
     |  |cos|-| - sin|-||  dx = cos (1/8) - 7*sin (1/8)
     |  \   \8/      \8//                              
     |                                                 
    /                                                  
    0                                                  
    $$8\,\left({{4\,\sin \left({{1}\over{4}}\right)+1}\over{16}}-{{4\, \sin \left({{1}\over{4}}\right)-1}\over{16}}+\cos ^2\left({{1}\over{ 8}}\right)-1\right)$$
    Численный ответ [src]
    0.875649686842579
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                         
     |                                          
     |                  2                       
     | /   /x\      /x\\                    2/x\
     | |cos|-| - sin|-||  dx = C + x + 8*cos |-|
     | \   \8/      \8//                     \8/
     |                                          
    /                                           
    $$4\,\left({{x}\over{8}}+{{\sin \left({{x}\over{4}}\right)}\over{2}} \right)+4\,\left({{x}\over{8}}-{{\sin \left({{x}\over{4}}\right) }\over{2}}\right)+8\,\cos ^2\left({{x}\over{8}}\right)$$
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: