Интеграл (cos(x/8)-sin(x/8))^2 (dx)

Вы ввели

  1                      
  /                      
 |                       
 |                   2   
 |  /   /x\      /x\\    
 |  |cos|-| - sin|-||  dx
 |  \   \8/      \8//    
 |                       
/                        
0                        

$$\int_{0}^{1} \left(- \sin{\left (\frac{x}{8} \right )} + \cos{\left (\frac{x}{8} \right )}\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \sin{\left (\frac{x}{8} \right )} + \cos{\left (\frac{x}{8} \right )}\right)^{2} = \sin^{2}{\left (\frac{x}{8} \right )} - 2 \sin{\left (\frac{x}{8} \right )} \cos{\left (\frac{x}{8} \right )} + \cos^{2}{\left (\frac{x}{8} \right )}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{2}{\left (\frac{x}{8} \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{x}{4}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{4}$ и подставим $4 du$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 4 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $4 \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $4 \sin{\left (\frac{x}{4} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 2 \sin{\left (\frac{x}{4} \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} - 2 \sin{\left (\frac{x}{4} \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 2 \sin{\left (\frac{x}{8} \right )} \cos{\left (\frac{x}{8} \right )}\, dx = - 2 \int \sin{\left (\frac{x}{8} \right )} \cos{\left (\frac{x}{8} \right )}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \cos{\left (\frac{x}{8} \right )}$.

            Тогда пусть $du = - \frac{dx}{8} \sin{\left (\frac{x}{8} \right )}$ и подставим $- 8 du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u\, du = - 8 \int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $- 4 u^{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- 4 \cos^{2}{\left (\frac{x}{8} \right )}$

         Метод #2

         1. пусть $u = \frac{x}{8}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{8}$ и подставим $8 du$:

            $\int \sin{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \sin{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = 8 \int \sin{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \cos{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = - \sin{\left (u \right )} du$ и подставим $- du$:

                  $\int u\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{1}{2} \cos^{2}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- 4 \cos^{2}{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- 4 \cos^{2}{\left (\frac{x}{8} \right )}$

         Метод #3

         1. пусть $u = \sin{\left (\frac{x}{8} \right )}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{8} \cos{\left (\frac{x}{8} \right )}$ и подставим $8 du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u\, du = 8 \int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $4 u^{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $4 \sin^{2}{\left (\frac{x}{8} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $8 \cos^{2}{\left (\frac{x}{8} \right )}$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left (\frac{x}{8} \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{x}{4}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{4}$ и подставим $4 du$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 4 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $4 \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $4 \sin{\left (\frac{x}{4} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (\frac{x}{4} \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} + 2 \sin{\left (\frac{x}{4} \right )}$

   Результат есть: $x + 8 \cos^{2}{\left (\frac{x}{8} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $x + 4 \cos{\left (\frac{x}{4} \right )} + 4$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + 4 \cos{\left (\frac{x}{4} \right )} + 4+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + 4 \cos{\left (\frac{x}{4} \right )} + 4+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                
  /                                                
 |                                                 
 |                   2                             
 |  /   /x\      /x\\          2             2     
 |  |cos|-| - sin|-||  dx = cos (1/8) - 7*sin (1/8)
 |  \   \8/      \8//                              
 |                                                 
/                                                  
0                                                  

$$8\,\left({{4\,\sin \left({{1}\over{4}}\right)+1}\over{16}}-{{4\, \sin \left({{1}\over{4}}\right)-1}\over{16}}+\cos ^2\left({{1}\over{ 8}}\right)-1\right)$$

Численный ответ

0.875649686842579

Ответ (Неопределённый)

  /                                         
 |                                          
 |                  2                       
 | /   /x\      /x\\                    2/x\
 | |cos|-| - sin|-||  dx = C + x + 8*cos |-|
 | \   \8/      \8//                     \8/
 |                                          
/                                           

$$4\,\left({{x}\over{8}}+{{\sin \left({{x}\over{4}}\right)}\over{2}} \right)+4\,\left({{x}\over{8}}-{{\sin \left({{x}\over{4}}\right) }\over{2}}\right)+8\,\cos ^2\left({{x}\over{8}}\right)$$

Упростить