Интеграл x^4/(x^2-3) (dx)

  1          
  /          
 |           
 |     4     
 |    x      
 |  ------ dx
 |   2       
 |  x  - 3   
 |           
/            
0            

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{4}}{x^{2} - 3} = x^{2} + 3 + \frac{9}{x^{2} - 3}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 3\, dx = 3 x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{9}{x^{2} - 3}\, dx = 9 \int \frac{1}{x^{2} - 3}\, dx$

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

         Но интеграл

         $\frac{\sqrt{3}}{6} \log{\left (x - \sqrt{3} \right )} - \frac{\sqrt{3}}{6} \log{\left (x + \sqrt{3} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{3 \sqrt{3}}{2} \log{\left (x - \sqrt{3} \right )} - \frac{3 \sqrt{3}}{2} \log{\left (x + \sqrt{3} \right )}$

   Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} + 3 x + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \log{\left (x - \sqrt{3} \right )} - \frac{3 \sqrt{3}}{2} \log{\left (x + \sqrt{3} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3}}{3} + 3 x + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \log{\left (x - \sqrt{3} \right )} - \frac{3 \sqrt{3}}{2} \log{\left (x + \sqrt{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{3}}{3} + 3 x + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \log{\left (x - \sqrt{3} \right )} - \frac{3 \sqrt{3}}{2} \log{\left (x + \sqrt{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                                                                                                                              
  /                                                                                                                              
 |                                                                                                                               
 |     4                 ___ /          /  ___\\       ___    /      ___\       ___ /          /       ___\\       ___    /  ___\
 |    x         10   3*\/ 3 *\pi*I + log\\/ 3 //   3*\/ 3 *log\1 + \/ 3 /   3*\/ 3 *\pi*I + log\-1 + \/ 3 //   3*\/ 3 *log\\/ 3 /
 |  ------ dx = -- - --------------------------- - ---------------------- + -------------------------------- + ------------------
 |   2          3                 2                          2                             2                           2         
 |  x  - 3                                                                                                                       
 |                                                                                                                               
/                                                                                                                                
0                                                                                                                                

-0.0882236500209252

  /                                                                          
 |                                                                           
 |    4                   3       ___    /      ___\       ___    /      ___\
 |   x                   x    3*\/ 3 *log\x + \/ 3 /   3*\/ 3 *log\x - \/ 3 /
 | ------ dx = C + 3*x + -- - ---------------------- + ----------------------
 |  2                    3              2                        2           
 | x  - 3                                                                    
 |                                                                           
/