Интеграл (3-x)*log(7*(3-x)) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1                          
      /                          
     |                           
     |  (3 - x)*log(7*(3 - x)) dx
     |                           
    /                            
    0                            
    $$\int_{0}^{1} \left(- x + 3\right) \log{\left (7 \left(- x + 3\right) \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Используем интегрирование по частям:

              пусть и пусть dx.

              Затем dx.

              Чтобы найти :

              1. Интеграл есть :

              Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть :

              Таким образом, результат будет:

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть :

            Таким образом, результат будет:

          Результат есть:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

        пусть и пусть dx.

        Затем dx.

        Чтобы найти :

        1. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть :

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Результат есть:

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть :

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл есть .

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          Результат есть:

        Таким образом, результат будет:

      Метод #3

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Используем интегрирование по частям:

            пусть и пусть dx.

            Затем dx.

            Чтобы найти :

            1. Интеграл есть :

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

            2. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл есть :

                Таким образом, результат будет:

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. пусть .

                  Тогда пусть и подставим :

                  1. Интеграл есть .

                  Если сейчас заменить ещё в:

                Таким образом, результат будет:

              Результат есть:

            Таким образом, результат будет:

          Таким образом, результат будет:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Интеграл есть :

          Таким образом, результат будет:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Используем интегрирование по частям:

                  пусть и пусть dx.

                  Затем dx.

                  Чтобы найти :

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  Теперь решаем под-интеграл.

                2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Метод #2

            1. Используем интегрирование по частям:

              пусть и пусть dx.

              Затем dx.

              Чтобы найти :

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Перепишите подынтегральное выражение:

              2. Интегрируем почленно:

                1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1. пусть .

                    Тогда пусть и подставим :

                    1. Интеграл есть .

                    Если сейчас заменить ещё в:

                  Таким образом, результат будет:

                Результат есть:

              Таким образом, результат будет:

          Таким образом, результат будет:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        Результат есть:

    2. Теперь упростить:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                                                  
      /                                                                  
     |                                5   9*log(2)   5*log(14)   9*log(3)
     |  (3 - x)*log(7*(3 - x)) dx = - - - -------- + --------- + --------
     |                                4      2           2          2    
    /                                                                    
    0                                                                    
    $${{{{441\,\log 21}\over{2}}-98\,\log 14-{{245}\over{4}}}\over{49}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    7.17223631052489
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                       2          2                 2           
     |                                 (3 - x)    (3 - x) *log(7)   (3 - x) *log(3 - x)
     | (3 - x)*log(7*(3 - x)) dx = C + -------- - --------------- - -------------------
     |                                    4              2                   2         
    /                                                                                  
    $${{x^2-6\,x}\over{4}}+\log \left(7\,\left(3-x\right)\right)\,\left(3 \,x-{{x^2}\over{2}}\right)-{{9\,\log \left(x-3\right)}\over{2}}$$