Интеграл (x^2-5*x+6)/(x-3) (dx)

  1                
  /                
 |                 
 |   2             
 |  x  - 5*x + 6   
 |  ------------ dx
 |     x - 3       
 |                 
/                  
0                  

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 3} = x - 2$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -2\, dx = - 2 x$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - 2 x$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 3} = \frac{x^{2}}{x - 3} - \frac{5 x}{x - 3} + \frac{6}{x - 3}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{x - 3} = x + 3 + \frac{9}{x - 3}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 3\, dx = 3 x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{9}{x - 3}\, dx = 9 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

            1. пусть $u = x - 3$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 3 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $9 \log{\left (x - 3 \right )}$

         Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} + 3 x + 9 \log{\left (x - 3 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{5 x}{x - 3}\, dx = - 5 \int \frac{x}{x - 3}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{x - 3} = 1 + \frac{3}{x - 3}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{3}{x - 3}\, dx = 3 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

               1. пусть $u = x - 3$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 3 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $3 \log{\left (x - 3 \right )}$

            Результат есть: $x + 3 \log{\left (x - 3 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 5 x - 15 \log{\left (x - 3 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{6}{x - 3}\, dx = 6 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = x - 3$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 3 \right )}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{x - 3} = \frac{1}{x - 3}$

            2. пусть $u = x - 3$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 3 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $6 \log{\left (x - 3 \right )}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - 2 x - 6 \log{\left (x - 3 \right )} + 6 \log{\left (x - 3 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x}{2} \left(x - 4\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} \left(x - 4\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x}{2} \left(x - 4\right)+ \mathrm{constant}$

  1                       
  /                       
 |                        
 |   2                    
 |  x  - 5*x + 6          
 |  ------------ dx = -3/2
 |     x - 3              
 |                        
/                         
0                         

-1.5

  /                              
 |                               
 |  2                     2      
 | x  - 5*x + 6          x       
 | ------------ dx = C + -- - 2*x
 |    x - 3              2       
 |                               
/