Интеграл (sin(x)^(3))/(cos(x)^(4)) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1           
      /           
     |            
     |     3      
     |  sin (x)   
     |  ------- dx
     |     4      
     |  cos (x)   
     |            
    /             
    0             
    $$\int_{0}^{1} \frac{\sin^{3}{\left (x \right )}}{\cos^{4}{\left (x \right )}}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

      3. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл есть :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть :

            Таким образом, результат будет:

          Результат есть:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл есть :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть :

            Таким образом, результат будет:

          Результат есть:

        Если сейчас заменить ещё в:

    2. Теперь упростить:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                
      /                                
     |                                 
     |     3                       2   
     |  sin (x)      2   -1 + 3*cos (1)
     |  ------- dx = - - --------------
     |     4         3          3      
     |  cos (x)            3*cos (1)   
     |                                 
    /                                  
    0                                  
    $$-{{1}\over{\cos 1}}+{{1}\over{3\,\cos ^31}}+{{2}\over{3}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.92918564057767
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                   
     |                                    
     |    3                               
     | sin (x)            1          1    
     | ------- dx = C - ------ + ---------
     |    4             cos(x)        3   
     | cos (x)                   3*cos (x)
     |                                    
    /                                     
    $$-{{3\,\cos ^2x-1}\over{3\,\cos ^3x}}$$