Интеграл x^2+1/(x+1)^2*(x-1) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1                   
      /                   
     |                    
     |  / 2    x - 1  \   
     |  |x  + --------| dx
     |  |            2|   
     |  \     (x + 1) /   
     |                    
    /                     
    0                     
    $$\int_{0}^{1} x^{2} + \frac{x - 1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл есть :

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

        Метод #1

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл есть .

            Если сейчас заменить ещё в:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

              Метод #1

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл есть :

                Если сейчас заменить ещё в:

              Метод #2

              1. Перепишите подынтегральное выражение:

              2. Перепишите подынтегральное выражение:

                None

            Таким образом, результат будет:

          Результат есть:

        Метод #2

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. Интегрируем почленно:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл есть .

              Если сейчас заменить ещё в:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл есть :

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            Результат есть:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

            2. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл есть :

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          Результат есть:

      Результат есть:

    2. Теперь упростить:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                   
      /                                   
     |                                    
     |  / 2    x - 1  \                   
     |  |x  + --------| dx = -2/3 + log(2)
     |  |            2|                   
     |  \     (x + 1) /                   
     |                                    
    /                                     
    0                                     
    $$\log 2-{{2}\over{3}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.0264805138932786
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                                
     |                                   3             
     | / 2    x - 1  \            2     x              
     | |x  + --------| dx = C + ----- + -- + log(1 + x)
     | |            2|          1 + x   3              
     | \     (x + 1) /                                 
     |                                                 
    /                                                  
    $$\log \left(x+1\right)+{{2}\over{x+1}}+{{x^3}\over{3}}$$