Интеграл (x^2-3*x+1)*log(x) (dx)

Вы ввели

  1                         
  /                         
 |                          
 |  / 2          \          
 |  \x  - 3*x + 1/*log(x) dx
 |                          
/                           
0                           

$$\int_{0}^{1} \left(x^{2} - 3 x + 1\right) \log{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(x^{2} - 3 x + 1\right) \log{\left (x \right )} = x^{2} \log{\left (x \right )} - 3 x \log{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x^{2}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x^{2}}{3}\, dx = \frac{1}{3} \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x^{3}}{9}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 3 x \log{\left (x \right )}\, dx = - 3 \int x \log{\left (x \right )}\, dx$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{3 x^{2}}{2} \log{\left (x \right )} + \frac{3 x^{2}}{4}$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} \log{\left (x \right )} - \frac{x^{3}}{9} - \frac{3 x^{2}}{2} \log{\left (x \right )} + \frac{3 x^{2}}{4} + x \log{\left (x \right )} - x$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x}{36} \left(12 x^{2} \log{\left (x \right )} - 4 x^{2} - 54 x \log{\left (x \right )} + 27 x + 36 \log{\left (x \right )} - 36\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{36} \left(12 x^{2} \log{\left (x \right )} - 4 x^{2} - 54 x \log{\left (x \right )} + 27 x + 36 \log{\left (x \right )} - 36\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{36} \left(12 x^{2} \log{\left (x \right )} - 4 x^{2} - 54 x \log{\left (x \right )} + 27 x + 36 \log{\left (x \right )} - 36\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                
  /                                
 |                                 
 |  / 2          \             -13 
 |  \x  - 3*x + 1/*log(x) dx = ----
 |                              36 
/                                  
0                                  

$$-{{13}\over{36}}$$

Численный ответ

-0.361111111111111

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                 
 |                                     3      2                 2           3       
 | / 2          \                     x    3*x               3*x *log(x)   x *log(x)
 | \x  - 3*x + 1/*log(x) dx = C - x - -- + ---- + x*log(x) - ----------- + ---------
 |                                    9     4                     2            3    
/                                                                                   

$$\left({{x^3}\over{3}}-{{3\,x^2}\over{2}}+x\right)\,\log x-{{4\,x^3- 27\,x^2+36\,x}\over{36}}$$

Упростить